arithmetique

Bonsoir
quelqu un peut me donner une indication pour l exercice suivant:
trouver tous les entiers naturels n tq racine(1+5^n + 6^n + 11^n ) appartient a IN
c est un exrcice du livre najah et merci infiniment

Pour n = 0 , l'équation est vérifiée.

Supposons qu'il existe m \in  N\{0,1,2} et n \in  N* tels que 1 + 5^n + 6^n + 11^n = m^2.

Comme 1 + 5^n + 6^n + 11^n est impair alors il existe M \in N* tel que m = 2 M + 1, donc 1 + 5^n + 6^n + 11^n = 8 \frac{M(M+1)}{2}.

Donc, pour (n \in {1,2}) ou (n \in N\{1,2} avec n pair), elle n'est pas vérifiée.

Pour n \in N\{1,2} et n impair, je galère durement: j'ai pris que 11^n = (5 + 6)^n et 1 = - (5 - 6)^n, et avec les formes binomiales de 11^n et 1, j'ai trouvé une somme que je n'arrive pas a exploiter.

C'est tout ce que j'ai pu faire. Si M. Abdelbaki a une idée pour débloquer la situation, je lui serai bien reconnaissant.

Bonsoir , prenez l'expression modulo cinq .

Merci M.bianco verde.

Pour n = 0 on a racine (1 + 5^n + 6^n + 11^n) = 2.

Pour n \in N* on a:
5^n est équivalent à 5 modulo 10
6^n est équivalent à 6 modulo 10
11^n est équivalent à 1 modulo 10

Donc 1 + 5^n + 6^n + 11^n est équivalent à 3 modulo 10.

Maintenant, supposons qu'il existe m \in N tel que 1 + 5^n + 6^n + 11^n = m^2, et comme 1 + 5^n + 6^n + 11^n  est impair alors m est impair, donc m^2 ne peut être équivalent qu'à 1, 5 ou 9 modulo 10, donc 1 + 5^n + 6^n + 11^n ne peut être un carré parfait.

Donc le seul entier naturel tel que racine (1 + 5^n + 6^n + 11^n) appartienne à N est 0.

abraha_11 a écrit:

Bonsoir
quelqu un peut me donner une indication pour l exercice suivant:
trouver tous les entiers naturels n tq  racine(1+5^n + 6^n + 11^n ) appartient a IN
c est un exrcice du livre najah et merci infiniment

Le nombre d'unité de est pour .
Et on sait que le chiffre des unités de n'importe quel carré appartient à .
Donc .
Pour , est un carré parfait.
La seule solution au problème est, par conséquent, .

1+5^n + 6^n + 11^n=m^2 avec n>0
modulo 3 , m=r avec r dans {-1,0,1}
1+(-1)^(n+1)=r^2 dans {0,1}==> n pair et r=0
On pose n=2p et m=3k
1+25^p + 36^p + 121^p=9k^2
modulo 4, k=s dans {-1,0,1,2}
3=s^2 dans {0,1} impossible

Donc n=0 et m=2

Vous nous avez beaucoup manqué M. Abdelbaki.

En ce qui concerne votre solution, elle m'a appris qu'il ne faut jamais s'arrêter au milieu du chemin.

Un grand Merci pour vous, et bonne fête du Mawlid.