Bonjour;
Pour la question n°1, je propose la solution suivante.
On a: (yx)^3 = y x y x y x = y (xy) (xy) x = y (xy)^2 x : résultat 1.
On aussi : (yx)^3 = f(yx) = f(y) f(x) = y^3 x^3 : résultat 2 .
Des résultats 1 et 2 on déduit que : y^3 x^3 = y (xy)^2 x , donc y^2 x^2 = (xy)^2 : résultat 3.
On a aussi (xy)^3 = f(xy) = f(x) f(y) = x^3 y^3 : résultat 4.
Et on a aussi : (xy)^3 = x y (xy)^2 = x y y^2 x^2 (résultat 3) = x y^3 x^2 : résultat 5.
Des résultats 4 et 5 on déduit que : x^3 y^3 = x y^3 x^2 , donc x^2 y^3 = y^3 x^2 :résultat 6.
donc x^2 y^2 x^-2 = y^3,
donc x^3 y^3 x^-3 = x y^3 x^-1 .
Pour la deuxième question, calculons d'abord x^6 y^6 pour tout x,y de G.
x^6 y^6 = x^6 (y^3)^2 = (y^3)^2 x^6 (résultat 6) = y^6 x^6.
Pour tout a,b de G il existe x,z de G tels que a = x^3 et b = y^3 puisque f est surjectif,
donc a^2 b^2 = x^6 y^6 = y^6 x^6 = b^2 a^2.
On a donc (ab)(ab)(ab) = (ab)^3 = a^3 b^3 = a a^2 b^2 b = a b^2 a^2 b = (ab)(ba)(ab),
donc ab = ba , donc G est commutatif.
Accueil 
