Bonjour;
La rédaction de la solution en son intégralité est un peu longue, donc je me limiterai à en présenter la démarche.
i) Considérons la fonction g de IR dans IR telle que g(x) = f(x) - x.
On a g(1/2) = 0,0908 et g(3/5) = -0,0306, donc g(1/2)g(3/5)<0, et comme g est continue sur [1/2,3/5] alors il existe c appartenant à ]1/2,3/5[ tel que g(c) = 0, donc il existe c appartenant à ]1/2,3/5[ tel que f(c) = c .
ii) Pour montrer que (u_2n) et (u_2n+1) sont adjacentes, j'ai opté pour la démarche suivante:
a) Montrons que f est strictement décroissante sur IR.
On a f'(x) = 1/(1+e^x) - e^(-x) Ln (1+e^x) = h(e^x) avec h une fonction de ]-1,+infini[ sur IR telle que h(t) = t/(1+t) - Ln(1+t).
On a g'(t) = -t/(1+t)^2, donc g'(t)<0 pour tout t appartenant à ]0,+infini[.
Comme g(0) = 0 donc g(t)<0 pour tout t appartenant à ]0,+infini[,
donc f' est strictement négative sur IR et par conséquent f est strictement décroissante sur IR.
b) Montrons maintenant que (u_2n) et (u_2n+1) sont monotones et que si (u_2n) est croissante (u_2n+1) est décroissante.
On a u_0 = 0,5 , u_1 = 0,59080756 , u_2 = 0,5713, u_3 = 0,57553796 et u_5 = 0,57483396, donc u_0 < u_2.
Supposons que pour n un entier naturel on a u_2n < u_2n+2,
donc f(u_2n) > f(u_2n+2) car f est strictement décroissante sur IR, donc u_2n+1 > u_2n+3 , donc f(u_2n+3) > f(u_2n+1), donc u_2n+4 > u_2n+2,
donc pour tout entier naturel on a u_2n < u_2n+2,
donc pour tout entier naturel on a u_2n+2 - u_2n > 0, donc (u_2n) est strictement croissante.
D'autre part on a u_0 < u_2, donc f(u_2) < f(u_0), donc u_3 < u_1.
Supposons que pour tout entier naturel on a u_2n+3 < u_2n+1,
donc f(u_2n+1) < f(u_2n+3), donc u_2n+2 < u_2n+4, donc f(u_2n+4) < f(u_2n+2), donc u_2n+5 < u_2n+3,
donc pour tout entier naturel on a u_2n+3 < u_2n+1,
donc pour tout entier naturel on a u_2n+3 - u_2n+1 < 0, donc (u_2n+1) est strictement décroissante.
c) (u_2n) est strictement croissante et (u_2n+1) est strictement décroissante,
donc pour tout entier naturel on a u_2n est supérieur ou égal à u_0 et u_2n+1 inférieur ou égal à u_1.
On a aussi u_0 < c, supposons que pour tout entier naturel on a u_2n < c,
donc f(c) < f(u_2n), donc c < u_2n+1, donc f(u_2n+1) < f(c), donc u_2n+2 < c,
donc pour tout entier naturel on a u_2n < c.
Par suite on a pour tout entier naturel f(u_2n) > f(c), donc pour tout entier naturel on a u_2n+1 > c .
Par conséquent on a pour tout entier naturel: u_0(< ou égal) u_2n < c < u_2n+1 (< ou égal) u_1,
donc pour tout entier naturel on a u_n appartenant à [u_0,u_1], ou bien pour tout entier naturel sauf n=1 on a u_n appartenant à [u_0,u_3],
donc pour tout entier naturel sauf n = 0 on a f(u_n) appartenant à [u_0,u_3],
donc pour n appartenant à IN* on a :
I u_2n+1 - u2n+2I = I f(u_2n) - f(u_2n+1) I = ( I f(u_2n) - f(u_2n+1) I / I u_2n - u_2n+1 I ) I u_2n - u_2n+1 I ,
en appliquant le théorème des accroissements finis à f sur [u_2n,u2n+1] on a qu'il existe b_n appartenant à [u_2n,u2n+1] tel que ( I f(u_2n) - f(u_2n+1) I / I u_2n - u_2n+1 I ) = I f'(b_n) I,
donc on a I u_2n+1 - u2n+2I = I f'(b_n) I I u_2n - u_2n+1 I .
Il reste donc à majorer I f'(b_n) I, pour cela on a f'(x) = 1/(1+e^x) - e^(-x) Ln (1+e^x) donc I f'(x) I (< ou égale à) 1/(1+e^x) + e^(-x) Ln (1+e^x), donc sur [u_0,u_3] on a I f'(x) I (< ou égale à) 0,99727095 < 1.
Posons k = 0,99727095, donc sur [u_0,u_3] on a I f'(x) I (< ou égale à) k,
donc I u_2n+1 - u2n+2I (< ou égale à) k I u_2n - u_2n+1 I et en réitérant cette étape on obtient I u_2n+1 - u2n+2 I (< ou égale à) k^(2n-1) I u_2 - u_3 I, donc lim k^(2n-1) I u_2 - u_3 I quand n tend vers +infini est égale à 0,
donc lim I u_2n+1 - u2n+2 I est aussi égale à 0 quand n tend vers +infini,
donc lim u_2n+1 - u2n+2 est égale à 0,
donc (u_2n) et (u_2n+1) sont adjacentes avec lim u_2n = lim u_2n+1 quand n tend vers +infini.
Posons s cette limite commune, et comme pour tout entier naturel on a : u_2n < c < u_2n+1, on obtient en passant aux limites que s (< ou égale à) c (< ou égale à) s, donc s = c .
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