suite récurrente

On considère la suite récurrente suivante:


Montrer que cette suite converge et déterminer sa limite

Une recurrence simple montre que

1=<a_n=<2 pour tout n.

L'application f de [1,e] dans IR définie par : f(x)=(ln(x))/x est positive et strict. croissante ( donc injective). 2 € ]1,e[ ==> 0< f(2)<1/e

On a pour tout n,
f(2) >=f(a_(n+1))= ln(a_(n+1))/a_(n+1)=a_n*f(2)/a_(n+1)
Alors a_n) est croissante. Comme elle est bornée alors il converge vers a tel que f(a)=f(2) ==> a=2

Donc Lim a_n=2