On a d'abord n un entier naturel impair supérieur on égal à 5, donc n peut se mettre sous
la forme (2 m + 1) avec m un entier naturel supérieur ou égal à 2,
donc 4^n + 1 = 4^{2m+1} + 1 =4 4^{2m} + 1 = 4 2^{4m} + 1 = 4 (2^m)^4 + 1.
On a aussi l'identité remarquable suivante : 4 u^4 + 1 = (2 u^2 + 2 u + 1)(2 u^2 - 2 u + 1),
donc 4^n + 1 = 4 (2^m)^4 + 1 = (2 (2^m)^2 + 2 (2^m) + 1)(2 (2^m)^2 - 2 (2^m) + 1)
= (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)(2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1).
On aussi (4^n + 1)/5 = (4^{2m+1} + 1)/(4 + 1) = ((-4)^{2m+1} - (-1))/((-4) - (-1)) : c'est la somme des (2m+1) premiers termes de la suite géométrique de raison (-4) et de premier terme 1, donc 4^n + 1 est divisible par 5
et par conséquent (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)(2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) aussi .
Comme m >= 2 , on a donc (2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) >= 25 et par suite (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1) aussi est supérieur ou égal à 25,
donc (2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1)/5 >= 5 ainsi que (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)/5 >= 5,
donc (4^n + 1)/5 = ((2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1)(2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1))/5
= ((2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1)/5)(2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)
ou ((2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)/5)(2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) selon le cas où 5 divise
(2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1) ou (2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) : Théorème de Gauss,
donc dans les deux cas (4^n + 1)/5 est un produit de deux facteurs supérieurs ou égaux à 5,
donc (4^n + 1)/5 est un nombre composé pour n >= 5 .
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