Forum des amateurs de maths
Vous souhaitez réagir à ce message ? Créez un compte en quelques clics ou connectez-vous pour continuer.


Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  
Le Deal du moment :
Cartes Pokémon : sortie d’un nouveau ...
Voir le deal

 

 Février 2016

Aller en bas 
2 participants
AuteurMessage
abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2562
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

Février 2016 Empty
MessageSujet: Février 2016   Février 2016 EmptyLun 01 Fév 2016, 14:14

Démontrez que pour tout entier n impair et supérieur à 3,

(4^n+1)/5

est un nombre composé.

_________________
وقل ربي زد ني علما
Revenir en haut Aller en bas
https://mathsmaroc.jeun.fr/
aymanemaysae
Expert grade1



Masculin Nombre de messages : 428
Age : 26
Date d'inscription : 22/01/2014

Février 2016 Empty
MessageSujet: Re: Février 2016   Février 2016 EmptyDim 07 Fév 2016, 14:03

On a d'abord n un entier naturel impair supérieur on égal à 5, donc n peut se mettre sous
la forme (2 m + 1) avec m un entier naturel supérieur ou égal à 2,
donc 4^n + 1 = 4^{2m+1} + 1 =4 4^{2m} + 1 = 4 2^{4m} + 1 = 4 (2^m)^4 + 1.

On a aussi l'identité remarquable suivante : 4 u^4 + 1 = (2 u^2 + 2 u + 1)(2 u^2 - 2 u + 1),
donc 4^n + 1 = 4 (2^m)^4 + 1 = (2 (2^m)^2 + 2 (2^m) + 1)(2 (2^m)^2 - 2 (2^m) + 1)
= (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)(2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1).

On aussi (4^n + 1)/5 = (4^{2m+1} + 1)/(4 + 1) = ((-4)^{2m+1} - (-1))/((-4) - (-1)) : c'est la somme des (2m+1) premiers termes de la suite géométrique de raison (-4) et de premier terme 1, donc 4^n + 1 est divisible par 5
et par conséquent (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)(2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) aussi .

Comme m >= 2 , on a donc (2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) >= 25 et par suite (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1) aussi est supérieur ou égal à 25,

donc (2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1)/5 >= 5 ainsi que (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)/5 >= 5,

donc (4^n + 1)/5 = ((2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1)(2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1))/5
= ((2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1)/5)(2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)
  ou ((2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1)/5)(2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) selon le cas où 5 divise
      (2^{2m+1} + 2^{m+1} + 1) ou (2^{2m+1} - 2^{m+1} + 1) : Théorème de Gauss,

donc dans les deux cas (4^n + 1)/5 est un produit de deux facteurs supérieurs ou égaux à 5,
donc (4^n + 1)/5 est un nombre composé pour n >= 5 .
Revenir en haut Aller en bas
 
Février 2016
Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Mai 2016
» Janvier 2016
» Mars 2016
» Avril 2016
» Juin 2016

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Problèmes de la semaine et du mois :: Problème du mois-
Sauter vers: