Une suite non bornée

Soit f une fonction continue de [0,1] dans R.
Montrer que la suite u_n=\int_0^1 f(x)e^{nx}dx n'est pas bornée.

Le théorème de la moyenne nous dit qu'il existe c de ]0,1[ tq u_n=f(c)\int_0^1 exp(nx)dx qlq n. Ceci nous donne la réponse.

@Abdelbaki: Il s'emble que le probleme est plutot de demontrer que (u_n) n'est bornee que si f est identiquement nulle.
@Kalm: Une application du theorem de la moyenne devra fournir en general un c dependant de n. Si par exemple f(x)=exp(x), u_n=1/(n+1)(e^(n+1)-1) qui en general n'est pas proportionelle a int_0^1 exp(nx)dx.

Intuitivement, il semble qu'on peut montrer que la partie de l'integral proche de 1 dominera le reste. Ceci ne doit pas etre tres difficile a formaliser pour fournir un argument rigoureux.

kalm a écrit:

Le théorème de la moyenne nous dit qu'il existe c de ]0,1[ tq u_n=f(c)\int_0^1 exp(nx)dx qlq n. Ceci nous donne la réponse.

Attention: c dépend de n
Sous entendu f n'est pas identiquement nulle

En effet, c dépend de n. On aura alors u_n=f(c_n)\int_0^1 exp(nx)dx qlq n, (c_n) bornée, on peut en extraire une sous suite (c_h(n)) qui converge, donc si f ne s'annule pas, alors on aura une sous suite de u_n qui diverge a savoir (u_h(n)). Si f s'annule, on risque d'avoir la limite de (c_h(n)) qui annule f et dans ce cas on aura une forme indéterminée, alors pour résoudre ce problème on procède comme suite:
-Si f(1)#0, alors soit a le plus grand zéro de f. On a pour q>0 assez petit u_n=\int_0^(a+q)f(x) exp(nx)dx+\int_(a+q)^1f(x) exp(nx)dx il existe alors deux suites (a_n) de ]0,a+q[ et (b_n) de ]a+q,1[ via le théorème de la moyenne telles que u_n=f(a_n)(e^((a+q)n)-1)/n+f(b_n)(e^n-e^((a+q)n))/n .
Donc u_n est équivalente à f(b_n)e^n/n, comme f ne s'annule jamais sur ]a+q,1[ alors les valeurs d'adhérence de f(b_n) ne contiennent pas 0, d'où la divergence de u_n.
-Si f(1)=0, on peut supposer qu'elle est positive avant l'annulation en 1. Il existe alors a tel que f(a)>0 et la restriction de f à ]a,1] soit positive ou nulle. Donc u_n>=\int_0^a f(x)exp(nx)dx=v_n. On peut alors appliquer le même raisonnement précédent sur v_n car f(a)#0. Ceci achève la démonstration.
Sauf erreur de ma part