Une série bornée !!!!

Montrer que quel que soit n entier positif >3, on a l’inégalité suivante :

je pense que tu doit utiliser 1/n^3<1/n(n-1)(n-2)

moi je pense pas !

supose q Sn<1/12
et essai de demotrer q Sn+1<1/12
chwi pa sure mai essai

peut etre on utilisant la recurence qq soit n=4 pour le premier element n dans N

pour n=4 la relation est vraie !!

Bonsoir à Tous !!!
Est-ce que vous avez vu les Intégrales ????
Si oui j'ai une preuve pour Vous !! LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

Bonsoir à Tous !!!
Est-ce que vous avez vu les Intégrales ????
Si oui j'ai une preuve pour Vous !! LHASSANE

Non Mr.Bourbaki, c'est pour terminal

Oh!!! C'est bien dommage parceque même la réccurence ne marche pas !!! Avec les intégrales , on aurait eu une preuve directe !!! LHASSANE

bonjours les ami , je vois que c un peu coriace cette serie, alors je vais vous donner un coup de pousse !

voiola Kalm a deja posté l'indice essentielle ! 1/n^3<1/n(n-1)(n-2)

donc avous de trouver

pour Mr Lahssane : domage pour les integrale , car nous sommes encore en premiere

Salut Tout le Monde :
Tentative infructueuse d'utiliser l'indication de Kalm.

kalm a écrit:

je pense que tu doit utiliser 1/n^3<1/n(n-1)(n-2)

L’idée de kalm est assez séduisante , en effet on décompose la quantité
1/n(n-1)(n-2) sous la forme a/n + b/(n-1) + c/(n-2) et on trouve tous calculs faits
1/n(n-1)(n-2) =1/(2n) – 1/(n-1) + 1/[2(n-2)] On aura donc
pour tout k entier compris entre 3 et n :
1/k^3<1/k(k-1)(k-2) =1/(2k) – 1/(k-1) + 1/[2(k-2)]
Enfin , on écrira cette inégalité pour k=3,4,5,…….. ,n-2,n-1 ,n puis , on fera la somme membre à membre de ces
(n-2) inégalités.
Et qu’obtient-on ???????
C’est à Vous d’écrire pour constater qu’il se produit du TELESCOPAGE ( des simplifications , des termes qui se détruisent par addition ; IL est IMPERATIF pour voir le TELESCOPAGE d’écrire les 3 premières et les 3 dernières )
On trouve donc
Sn<1/(2n)-1/[2(n-1)]+1/4=(1/2) .[n^2-n-2]/[2n.(n-1)]=[n^2-n-2]/[4n^2-4n]



Il ne restera plus qu’à voir si : [n^2-n-2]/[4n^2-4n]<1/12 ce qui s’écrit
8n^2-8n-24<0 et ceci est malheureusement FAUX !!!!pour n>=3 LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

Salut Tout le Monde :
Tentative infructueuse d'utiliser l'indication de Kalm.

kalm a écrit:

je pense que tu doit utiliser 1/n^3<1/n(n-1)(n-2)

L’idée de kalm est assez séduisante , en effet on décompose la quantité
1/n(n-1)(n-2) sous la forme a/n + b/(n-1) + c/(n-2) et on trouve tous calculs faits
1/n(n-1)(n-2) =1/(2n) – 1/(n-1) + 1/[2(n-2)] On aura donc
pour tout k entier compris entre 3 et n :
1/k^3<1/k(k-1)(k-2) =1/(2k) – 1/(k-1) + 1/[2(k-2)]
Enfin , on écrira cette inégalité pour k=3,4,5,…….. ,n-2,n-1 ,n puis , on fera la somme membre à membre de ces
(n-2) inégalités.
Et qu’obtient-on ???????
C’est à Vous d’écrire pour constater qu’il se produit du TELESCOPAGE ( des simplifications , des termes qui se détruisent par addition ; IL est IMPERATIF pour voir le TELESCOPAGE d’écrire les 3 premières et les 3 dernières )
On trouve donc
Sn<1/(2n)-1/[2(n-1)]+1/4=(1/2) .[n^2-n-2]/[2n.(n-1)]=[n^2-n-2]/[4n^2-4n]



Il ne restera plus qu’à voir si : [n^2-n-2]/[4n^2-4n]<1/12 ce qui s’écrit
8n^2-8n-24<0 et ceci est malheureusement FAUX !!!!pour n>=3 LHASSANE

oui Mr lhassane, mais il fallait juste que tu décompose 1/n(n-1)(n-2) d'une autre façon vraiment genial

Pour Conan!!
Tu as dit <<oui Mr lhassane, mais il fallait juste que tu décompose 1/n(n-1)(n-2) d'une autre façon vraiment genial >>
Mais c'est la seule décomposition possible de 1/n(n-1)(n-2)

Je pense que la majoration de Kalm est trop forte , on va essayer celle-ci qui conduira positivement à la Solution!!!
On a n^3>n^3-n=(n-1).n.(n+1)
Et de la 1/n^3<1/[(n-1).n.(n+1)]
CE N’EST PLUS LA MEME QUE PRECEDEMMENT !!!!!!!!!!!
On décompose alors 1/[(k-1).k.(k+1)] sous la forme a/(k-1) + b/k + c/(k+1) et on trouve tous calculs faits b=-1 puis a=c=1/2 par conséquent , on a 1/k^3< 1/[2(k-1)] - 1/k + 1/[2(k+1)]
Comme dans mon Post précédent , on écrit cette inégalité pour k=3,4,5,………(n-2),(n-1),n
Et on fait la somme Membre à Membre de ces (n-2) inégalités , il se produira du TELESCOPAGE par addition et , SURPRISE , on va trouver Sn< (1/12)-[1/2n(n+1)] et par conséquent on a bien Sn<1/12 .
Et voilà un Problème de résolu !!!!
LHASSANE

Sachant que (k-1).(k+1) = , on en déduit (k-1).k.(k+1) < et

Il en résulte :


Or




D’où :




En conclusion, on a bien :




et voila merci lhassane