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 equation fonctionnelle

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3 participants
AuteurMessage
mae24
Féru
mae24


Masculin Nombre de messages : 30
Age : 31
Localisation : Kénitra
Date d'inscription : 02/02/2014

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MessageSujet: equation fonctionnelle   equation fonctionnelle EmptyMar 26 Juil 2016, 12:13

trouver toutes les applications définit de R dans R par:

f(x^4+y)=x^3 f(x)+f(y)
avec x et y dans R.
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aymanemaysae
Expert grade1



Masculin Nombre de messages : 428
Age : 25
Date d'inscription : 22/01/2014

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MessageSujet: Re: equation fonctionnelle   equation fonctionnelle EmptyJeu 28 Juil 2016, 13:22

Bonjour,

Pour x = 1 et y = 0 on a f(1) = f(1) + f(0) , donc f(0) = 0 .

Pour x >= 0 on a f(x+y) = x^(3/4)f(x^(1/4)) + f(y) = f(x) + f(y)
car en prenant y = 0 , on a f(x^4) = x^3 f(x).

Pour x<0 , on a f(-x +(-y)) = f(-x) + f(-y) = f(x+y) = f(x) + f(y)
car on a f(x^4) = x^3 f(x) = f((-x)^(1/4)) = (-x)^3 f(-x) = - x^3 f(-x) ,
donc x^3 f(x) = - x^3 f(-x) donc f(x) = - f(-x) donc f(x) = - f(x) .

donc pour tout x réel on a f(x+y) = f(x) + f(y) : équation fonctionnelle de Cauchy
qui a pour solution la fonction f de R dans R qui a tout x de R a pour image
f(x) = f(1) x .
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elhor_abdelali
Expert grade1
elhor_abdelali


Masculin Nombre de messages : 482
Age : 59
Localisation : Maroc.
Date d'inscription : 24/01/2006

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MessageSujet: Re: equation fonctionnelle   equation fonctionnelle EmptyDim 28 Mar 2021, 20:40

Bonjour.

Attention aymanemaysae :

sans hypothèse supplémentaire de continuité (ou de monotonie), l'équation de Cauchy  f:IR ---> IR , f(x+y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y

admet bien d'autres solutions que les fonctions linéaires farao sauf erreur de ma part bien entendu
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