problème N°9 de la semaine (26/12/2005-01/01/2006 )

REMARQUE
pour résoudre le problème N°9 vous devez premièrement remarquer qu'on doit trouver le max sur [0,1]^3 et non sur ]0,1[^3 . ( j'ai mis cette ""ERREUR"" dans l'enoncé pour le rendre plus jolie)
le seul membre qui a remarqué cela c'est abdelbaki attioui .
alors BRAVO au abdelbaki attioui .c'est lui le champion de cette semaine .

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir le condition de participation
Merci

Salut
"solution postée"
AA++
Voici la solution d' ADBDELBAKI

Pour tout x,y et z de [0,1] on a : (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) =< 2rac(3)/9.
En effet :

Par une simple permutation, on peut supposer que x<y et x<z.

Si y >=z , il n'y a rien à montrer car (x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)=<0.
Si y <z alors 0 =< x < y < z =< 1. On pose a=x/z et b=y/z alors
0<a<b<1.
(La fonction est homogène de degré 4)

(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) = z^4 ( a-b ) ( b -1) (1-a) ( a+b+1)

(b-a)(1-b)(1-a)(a+b+1) = (b-a)(1-b)(b+1-a(b-a))
= b(1-b)(b+1)-a(1-b)[b²-a²+b+1] =< b(1-b)(b+1)=b(1-b²)=< 2rac(3)/9

Car -(b+2/rac(3))(b-1/rac(3))²= -(b+2/rac(3)) ( b²-2b/rac(3)+1/3 )
= b(1-b²)- 2rac(3)/9 =< 0

D'où le résultat.

Il est facile de voir qu'on a égalité pour le triplet (0, 1/rac(3),1)
Donc

Max { F(x,y,z) / x,y et z dans [0,1] } = 2rac(3)/9.

AA+

S'il vous plait pouvez vous me proposer un défi pour 5ème? Merci !

salut
pour résoudre le problème N°9 vous devez premièrement remarquer qu'on doit trouver le max sur [0,1]^3 et non sur ]0,1[^3 . ( j'ai mis cette ""ERREUR"" dans l'enoncé pour le rendre plus jolie)
le seul membre qui a remarqué cela c'est abdelbaki attioui .
alors BRAVO au abdelbaki attioui .c'est lui le champion de cette semaine .