Bonjour ;
Exercice n° 1 .
On a :
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) car (a + b + c)² = a² + b² + c² ;
donc : 2(ab + ac + bc) = 0 ;
donc : ab + ac + bc = 0 ;
donc : (ab + ac + bc)/(abc) = 0 car a , b et c sont des nombres entiers non nuls;
donc : 1/c + 1/b + 1/a = 0 .
Exercice n° 2 .
1)
A = 4x² - 4x + 1 = (2x)² - 2(2x) + 1 = (2x - 1)² .
2)
B = x^4 - 4x^3 + 6c² - 4x + 1 = x^4 - 4x^3 + 2x² + 4x² - 4x + 1
= x^4 - 4x^3 + 2x² + A = x^4 - 2x²(2x - 1) + A .
3)
B = x^4 - 2x²(2x - 1) + A = (x²)² - 2x²(2x - 1) + (2x - 1)²
= (x² - 2x + 1)² = ((x - 1)²)² = (x - 1)^4 .
Exercice n° 3 .
Considérons le triangle HEF .
La droite (IJ) passe par les milieux des côtés [EH] et [HF] du triangle HEF ;
donc elle est parallèle à la droite (EF) .
La droite (EG) est perpendiculaire à la droite (EF) ;
donc elle est perpendiculaire à la droite (IJ) .
Considérons le triangle GEJ .
Les demies-droites [JI) et [EH) sont des hauteurs du triangle GEJ ;
et se coupent au point I ; donc la demie-droite [GI) est aussi une hauteur
du triangle GEJ ; donc la droite (GI) est perpendiculaire à la droite (EJ) .
Exercice n° 4 .
Je noterai tous les vecteurs comme des bipoints .
1)
I est le milieu de [BC] , donc on a : AI = 1/2 AB + 1/2 AC .
K est le milieu de [AB] , donc on a : AK = 1/2 AB .
On a : CM = 1/2 AB ;
donc : AM - AC = 1/2 AB ;
donc : AM = 1/2 AB + AC .
On a : 1/2 AM + 1/2 AK = 1/4 AB + 1/2 AC + 1/4 AB = 1/2 AB + 1/2 AC = AI ;
donc I est le milieu du segment [KM] .
2)
Considérons le triangle AKM .
Soit P le centre de gravité du triangle AKM .
I est le milieu de [KM] ;
donc : [AI] est une médiane du triangle AKM ;
donc on a : AP = 2/3 AI .
[AI] est aussi une médiane du triangle ABC ;
donc on a : AG = 2/3 AI ;
donc : P et G sont confondus ;
donc : G est le centre de gravité du triangle AKM .
Accueil 
