Bonjour ;
Exercice n° 1 .
On a trois cas à étudier .
Si l'angle BCA est un angle obtus ;
donc les deux triangles ACH et ABH sont des triangles rectangles en H ayant respectivement pour hypoténuse AC et AB ; donc on a :
AH < AC et AH < AB ;
donc : 2AH < AB + AC ;
donc : AH < (AB + AC)/2 .
Si l'angle BCA est un angle droit ;
donc on a les points C et H confondus;
donc le triangle ABC est un triangle rectangle ayant pour hypoténuse AB et AC = AH ;
donc on a : AH < AB ;
donc : 2AH < AB + AC ;
donc : AH < (AB + AC)/2 .
Si l'angle BCA est un angle aigu ;
donc les deux triangles ACH et ABH sont des triangles rectangles en H ayant respectivement pour hypoténuse AC et AB ; donc on a :
AH < AC et AH < AB ;
donc : 2AH < AB + AC ;
donc : AH < (AB + AC)/2 .
Conclusion :
Dans tous les cas , on a : AH < (AB + AC)/2 .
Exercice n° 2 .
Soit O le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC .
Ce cercle est tangent aux trois côtés du triangle ABC :
il est tangent à [AB] au point D ; à [AC] au point E et à [BC] au point F tel que : OD = OE = OF = 2 ;
donc OD est la hauteur du triangle OAB ; OE est la hauteur du triangle OAC et OF la hauteur
du triangle OAC ; donc l'aire du triangle ABC est la somme des aires des trois triangles OAB ;
OAC et OBC ; donc :
S = 1/2 x OD x AB + 1/2 x OE x AC + 1/2 x OF x BC = AB + AC + BC .
Exercice n° 3 .
Pour tout a appartenant à IR*+ ; on a :
(a - 1)² = a² - 2a + 1 > = 0 ;
donc : a² + 1 >= 2a ;
donc : a + 1/a >= 2 ;
donc : a + b >= 2 (car ab = 1 avec b appartenant à IR*+) ;
donc : ab + a + b + 1 >= 4 ;
donc : (a + 1)(b + 1) >= 4 .
Exercice n° 4 .
On notera r(u) la racine carrée d'un nombre réel positif .
On a : x >= 0 et x - 45 >= 0 ;
donc : x >= 0 et x >= 45 ;
donc : x >= 45 .
On a :
r(x) + r(x - 45) = 9 ;
donc : r(x - 45) = 9 - r(x) ;
donc : x - 45 = 81 + x - 18r(x) ;
donc : 18r(x) = 126 ;
donc : r(x) = 7 ;
donc : x = 49 .
Exercice n° 5 .
Procédons par cas .
Si x = 0 ;
donc on a : y(5/2 - y) = 0 ;
donc : y = 0 ou y = 5/2 ;
donc les couples (0 ; 0) et (0 ; 5/2) appartiennent à l'ensemble des solutions .
Si x <> 0 ;
donc on a : 1/2 + y - 2x² = 0 et y(5/2 + x - y) = 0 ;
donc : y = 2x² - 1/2 et y(5/2 + x - y) = 0 ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (y = 0 ou 5/2 + x - y = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (2x² - 1/2 = 0 ou 5/2 + x - 2x² + 1/2 = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (2(x² - 1/4) = 0 ou - 2x² + x + 3 = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (2(x² - (1/2)²) = 0 ou - 2(x² - x/2 - 3/2) = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (2(x - 1/2)(x + 1/2) = 0 ou - 2(x² + x - 3/2 x - 3/2) = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (2(x - 1/2)(x + 1/2) = 0 ou - 2(x(x - 3/2) + (x - 3/2)) = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (x - 1/2 = 0 ou x + 1/2 = 0 ou - 2(x + 1)(x - 3/2) = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (x - 1/2 = 0 ou x + 1/2 = 0 ou x + 1 = 0 ou x - 3/2 = 0) ;
donc : y = 2x² - 1/2 et (x = 1/2 ou x = - 1/2 ou x = - 1 ou x = 3/2) ;
donc : les couples (1/2 ; 0) , (- 1/2 ; 0) , (- 1 ; 3/2) et (3/2 ;
appartiennent à l'ensemble des solutions .
Conclusion :
L'ensemble des solutions du système d'équations est :
{(0 ; 0) , (0 ; 5/2) , (1/2 ; 0) , (- 1/2 ; 0) , (- 1 ; 3/2) , (3/2 ;
} .
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