Equation dans : N²

Résoudre dans N² l'équation :
m² = 1+2ⁿ

m² = 1+2ⁿ > 1 <==> (m -1)(m +1) = 2ⁿ > 0 <==> il existe deux nombres entiers naturels puissances de deux et décalés de deux, m étant leur moyenne et n la puissance de deux de leur produit. Par conséquent, alors que 2^k -2^l > 2, pour tout l > 1 et k > l, les deux facteurs ne sont que 2 et 4, et m = 3 et n = 3.

m^2 = 1+2^n <==> (m -1)(m +1) = 2^n ==> m-1=2^h avec h<n-1
==> 2^h (2^h+2)=2^n
==> 2^{h-1}+1=2^{n-h-1} est pair
==> h=1 et n-h-1=1
==> n= m=3