proba

une urne contient une boule blanche une verte ine rouge on tire succivemznt avec remise ine boule jusqu a obtenir une boule blanche pour la premiere fois
sot X la v.a egal au nombe de tirage jusqu à obtenir une boule blanche pour la premiere fois
calculer E(X) et V(X)

X prend ses valeurs dans N*
Pour n dans N, P(X=n+1)=(2/3)^(n)1/3  (tirage avec remise)
E(X)= (somme(n=0 à +oo) (n +1)P(X=n+1)
= (somme(n=0 à +oo) (n+1) (2/3)^(n)1/3
mais, qqs x dans ]0,1[ f(x)=somme(n=0 à +oo)x^(n+1)=x /(1-x)=-1+1/(1-x)
==> f'(x)= somme(n=0 à +oo)(n+1)x^(n)=1 /(1-x)^2
alors E(X)= 1/3 f'(2/3)=1/3 1/(1/3)^2=3

De même
E(X^2)= (somme(n=0 à +oo) (n +1)^2P(X=n+1)
= 1/3(somme(n=0 à +oo) (n+1) ^2 (2/3)^(n)
remarquer que (n +1)^2= n(n+1)+(n+1)
puis utiliser f'' et f'