inégalité pb 66

Soient x,y,z>0 / x²+y²+z²=1. l'inégalité x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3=<1/8
est-elle vraie?
De même x^4y^4+x^4z^4+y^4z^4=<1/16

comme vous avez dit de meme pour l'autre, alors elle doit etre vrai pour démontrer la suivante,donc elle est vraie

salut
soient x,y,z des réels >0 telque x²+y²+z²=1 et supposons :0<x=<y=<z<1
posons
(xy)^n+(xz)^n+(yz)^n=<3(yz)^n
xy=<(1-x²)/2<1/2
alors (xy)^n+(xz)^n+(yz)^n < 3/2^n

n'est pas interéssante...

Bonjour;
Il est facile de voir par Cauchy Swhartz que (xy+yz+zx)² =<(x²+y²+z²)² et ainsi sur la sphére de IR^3 on a Max(xy+yz+zx)=1 (sup atteint par exemple pour x=y=z= 1/V3)
Si on note pour n>=1 , un=(xy)^n+(yz)^n+(zx)^n
en écrivant un=(xy)(xy)^{n-1}+(yz)(yz)^{n-1}+(zx)(zx)^{n-1} on voit que un =< (un-1)/2
et ainsi on a pour tout n>=1 , un =< 1/2^{n-1} (sauf erreur bien entendu)

Pour répondre à la question de Abdelbaki :
x^3+y^3 = x.x²+y.y² =< V(x²+y²).V(x^4+y^4) (Cauchy Shwartz)
x^4+y^4 = (x²+y²)² - 2x²y²
ainsi si on suppose z=min(x,y,z) on a
x^4+y^4 =< (1-z²)² -2z^4 = 1-2z²-z^4 (remarquer que z ne dépasse pas 1/V3)
Et avec (2xy)^3 + (2yz)^3 + (2zx)^3 =< (x²+y²)^3 + 8z^3(x^3+y^3) on voit que
(2xy)^3 + (2yz)^3 + (2zx)^3 =< (1-z²)^3 + 8z^3V(1-z²)V(1-2z²-z^4) = f(z)
j'ai visualisé f sur Maple et il parrait que 1 est sa plus grande valeur (sauf erreur bien entendu)

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour;
Il est facile de voir par Cauchy Swhartz que (xy+yz+zx)² =<(x²+y²+z²)² et ainsi sur la sphére de IR^3 on a Max(xy+yz+zx)=1 (sup atteint par exemple pour x=y=z= 1/V3)
Si on note pour n>=1 , un=(xy)^n+(yz)^n+(zx)^n
en écrivant un=(xy)(xy)^{n-1}+(yz)(yz)^{n-1}+(zx)(zx)^{n-1} on voit que un =< (un-1)/2
et ainsi on a pour tout n>=1 , un =< 1/2^{n-1} (sauf erreur bien entendu)

Mieux on a : un =< 1/2^n , pour n>=2

elhor_abdelali a écrit:

Pour répondre à la question de Abdelbaki :
x^3+y^3 = x.x²+y.y² =< V(x²+y²).V(x^4+y^4) (Cauchy Shwartz)
x^4+y^4 = (x²+y²)² - 2x²y²
ainsi si on suppose z=min(x,y,z) on a
x^4+y^4 =< (1-z²)² -2z^4 = 1-2z²-z^4 (remarquer que z ne dépasse pas 1/V3)
Et avec (2xy)^3 + (2yz)^3 + (2zx)^3 =< (x²+y²)^3 + 8z^3(x^3+y^3) on voit que
(2xy)^3 + (2yz)^3 + (2zx)^3 =< (1-z²)^3 + 8z^3V(1-z²)V(1-2z²-z^4) = f(z)
j'ai visualisé f sur Maple et il parrait que 1 est sa plus grande valeur (sauf erreur bien entendu)

On pourra montrer d'abord que u2 =< 1/4
Puis u4 =< 1/16
et u3² =< u4u2 =<1/64.

Suite à ...
1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)=<3+1+1/2²+1/2^3+....
=3-1/2+1/(1-1/2)=5-1/2=9/2
voilà une autre solution du pb 66

Attention Abdelbaki pour x=y=z=1/V3 on a u2 = 1/3 > 1/4 (sauf erreur de ma part)

Bonjour Abdelali
Je pense que pour x<y<z on a x²y²+y²z²+z²x² =< 1/4

Si je ne me trompe l'ensemble T = { (x,y,z) / x²+y²+z²=1 , 0<x<y<z } est un triangle sphérique (privé de ses arêtes)
de sommets (0,0,1) , (0,1/V2,1/V2) et P = (1/V3,1/V3,1/V3) et ainsi le point P est adhérent à T.
Si la fonction continue f : (x,y,z) ---> x²y²+y²z²+z²x² était majorée sur T par 1/4 elle le serait (par continuité) en P
ce qui n'est pas le cas vu que f(P)=1/3 (sauf erreur)