Romanie 2005

a,b,c>0 abc>=1
Montrer que: 1/(1+a+b)+1/(1+b+c)+1/(1+c+a) <=1

pa la peine de dire k a.b.c.>0
juste le fait k abc>=1 limplik

x²=-1 a écrit:

pa la peine de dire k a.b.c.>0
juste le fait k abc>=1 limplik

a=b=-2 et c=1
abc>=1 mais il sont po positifs

deux nombres negatifs et un seul positif!!

pour que l'inégalité soit vraie il faut que les nombres soient positifs.

posons abc=p^3>=1 ,on prend A=a/p,...
donc ABC=1
on a donc
1/(1+a+b)+1/(1+b+c)+1/(1+c+a) <=1/(1+A+B)+1/(1+B+C)+1/(1+C+B)
on posant une autre fois A=x^3,B=y^3,C=z^3 avec xyz=1 pour se ramener a une inegalité connu un peut (je crois que dans les olympiades de USA).
===>1+A+B=1+x^3+y^3=xyz+(x+y)(x²-xy+y²)>=xyz+(y+x)xy=(x+y+z)/z
d ou 1/(1+A+B)<=z/(x+y+z) de méme pour les autre termes
en sommant ces trois inegalités ,le resultat en decoule

belle solution Fermat!