division euclidienne

bonjour , voilà j'ai trouvé un exercice que j'arrive pas à faire .

donner le reste dans la division de (X^n)+1 par X^2+1 (discuter en fonction de n ) .
merci d'avance pour votre aide !

Bonsoir néotrack !!
Le reste de la division euclidienne de (X^n)+1 par X^2+1 est un polynome de degré strictement +petit que 2 donc de la forme aX+b et on a : (X^n)+1 =Q(x).(X^2+1)+ aX+b

Il est clair que si n=0 alors a=0 et b=2 Q(x)=0
si n=1 alors a=b=1 , Q(x)=0 et si n=2 alors a=b=0 et Q(X)=1 .
Ces trois cas exclus , on s'attaque aux cas n>=3
Tu fais dans cette relation X=i puis X=-i et tu obtiendras:
i^n +1=ai+b
(-1)^n .(i)^n +1 =-ai+b
Maintenant :
si n est pair n=2p alors i^n=i^(2p)=(-1)^p ( tu peux encore distinguer 2 sous cas selon la parité de p cette fois )
si n est impair n=2p+1 alors i^n=(-1)^p .(i) ( Pareil 2 sous cas ...)
enfin il te restera à résoudre le système te donnant a et b. Ce que je te laisse faire tout seul!!!!!! LHASSANE

je comprends pas bien pourquoi si n=0 , a =0 et b=2 , d'autre part jecomprends pas aussi vous introduisez des nombres complexes !

Re-Bonsoir Neotrack !!
Si n=0 alors X^0=1 par convention donc X^n+1=X^0+1=1+1=2 et quand tu divises 2 par X^2+1 tu obtiens un quotient nul et le reste égal à aX+b=2 ce qui fait que a=0 et b=2
Pourquoi j'ai utilisé i et -i ??? Car ils annulent le diviseur X^2+1 quand on remplace dans l'écriture X^n+1=Q(X).(X^2+1)+aX+b l'indéterminée X par i puis -i et donc on récupère facilement deux équations conduisant au calcul de a et b ( De cette manière , on a court-circuité l'utilisation de Q(X) )
A+. LHASSANE

bonjour lhassan , voilà en fait pour l'exo du polynome c'est bon j'ai reussi , mais je reviens sur cet exercice car je n'arrive pas à trouver , dejas le systeme et biensur les solutions , si tu pouvais me donner le systeme et la façon de proceder ça serait genial .

et puis par la meme occasion , j'ai trouvé aussi un exo qui m'agasse un peu , en fait pour la methode je crois savoir comment faire , le voilà :
factoriser dans R[X] le polynome (X^2n)-(2cosaX^n)+1 , ce que j'ai fais c'est que j'ai posé Y=X^n , et donc je tombe sur une equaton du second degres , et c'est la que le descriminent m'enrve un peu .

Bonjour neotrack !!
Tu as dit :
<<Factoriser dans R[X] le polynome (X^2n)-(2cosaX^n)+1 , ce que j'ai fais c'est que j'ai posé Y=X^n , et donc je tombe sur une equaton du second degres , et c'est la que le descriminent m'enrve un peu .>>
Il ne faut jamais s'enerver quand on fait des Maths !!!!
Voilà , si tu connais les complexes , alors si on pose s=cosA+isinA=exp(iA)
alors s'=conjugué(s)=cosA-isinA=exp(-iA) et de là
(Y-s).(Y-s')=Y^2-(s+s')Y+ss'
Or s+s'=2cosA et ss'=1 donc
(Y-s).(Y-s')=Y^2-(s+s')Y+ss'=Y^2-2cosA.Y+1 C'EST CLASSIQUE
CONCLUSION: (X^2n)-(2cosaX^n)+1 devient , après ton changement d'indéterminée , une équation du second degré
Y^2-2cosa.Y+1 et par suite cela se factorise selon
Y^2-2cosa.Y+1=(Y-exp(ia)).(Y-exp(-ia)) ;il ne te restera plus qu'à résoudre les deux équations

X^n=exp(ia) et X^n=exp(-ia)) pour factoriser ton polynome dans C[X]
Après il faut faire des regroupements de monomes pour récupérer une factorisation valable dans IR[X] . LHASSANE

PS: je te préciserai comment le cas échéant. Les solutions de X^n=exp(-ia)) sont exactement les conjuguées des solutions de X^n=exp(ia) donc , globalement , les solutions de (X^2n)-(2cosaX^n)+1=0 sont appariées par deux ( une racine et sa conjuguée ) dans la factorisation , dans C[X] .