Question n°7: Structure euclidienne de IR^n

1) A est un projecteur et rg(A)=tr(A).

2) L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne

(somme des |a_i,j|)² =< (somme des |a_i,j|²)(somme des 1)

Or (somme des (a_i,j)²)=tr(tAA)= tr(A²)=tr(A)=rg(A)
et (somme des 1)=n², d'où le résultat.

Soit A=(a_i,j)€M_n(IR) ( matrice carrée d'ordre n>0 à coefficients réels) vérifiant:



1) Que peut-on dire de la nature géométrique de A?
2) Montrer que (somme des |a_i,j|)² =< n² rg(A).


N.B. tA= la transposée de A et rg(A)=le rang de A