Division euclidienne.

Soient P fonction polynôme de vers et , et réels. Sachant que est le reste de la division euclidienne de par , que est le reste de la division euclidienne de par et que est le reste de la division euclidienne de par , déterminez le reste de la division euclidienne de par .
Au plaisir.

mizmaz a écrit:

Soient P fonction polynôme de vers et , et réels. Sachant que est le reste de la division euclidienne de par , que est le reste de la division euclidienne de par et que est le reste de la division euclidienne de par , déterminez le reste de la division euclidienne de par .
Au plaisir.
PS : Je n'ai moi-même pas la solution à ce problème.

Je suppose que alpha, beta et gamma sont distincts

Alors P(alpha)=alpha et P(beta)=beta et P(gamma)=gamma.
Donc Q(x)=P(x)-x est tel que Q(alpha)=Q(beta)=Q(gamma)=0
Donc Q(x)=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)R(x)

Donc P(x)=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)R(x)+x

Et donc le reste de la division de P(x) par (x-alpha)(x-beta)(x-gamma) est x.

Si alpha, beta et gamma ne sont pas distincts, on ne peut déterminer de façon unique le résultat demandé

nemo a écrit:

mizmaz a écrit:

Soient P fonction polynôme de vers et , et réels. Sachant que est le reste de la division euclidienne de par , que est le reste de la division euclidienne de par et que est le reste de la division euclidienne de par , déterminez le reste de la division euclidienne de par .
Au plaisir.
PS : Je n'ai moi-même pas la solution à ce problème.

Je suppose que alpha, beta et gamma sont distincts

Alors P(alpha)=alpha et P(beta)=beta et P(gamma)=gamma.
Donc Q(x)=P(x)-x est tel que Q(alpha)=Q(beta)=Q(gamma)=0
Donc Q(x)=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)R(x)

Donc P(x)=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)R(x)+x

Et donc le reste de la division de P(x) par (x-alpha)(x-beta)(x-gamma) est x.

Si alpha, beta et gamma ne sont pas distincts, on ne peut déterminer de façon unique le résultat demandé

Exact !
Tiens, on peut rendre le problème encore plus déboussolant en l'écrivant ainsi :
Soient et P polynôme. Sachant que sont respectivement les restes des divisions euclidiennes de par , déterminez le reste de la division euclidienne de par
Au plaisir !