adhérence de matrices

Bonsoir
Montrer que l’adhérence de
R = {A de M_2(C) | A^n = I_2 pour un certain n}
est l’ensemble des matrices dont les valeurs propres sont sur le cercle unité.
AA+

Bonjour,


Pourquoi M_2(C) (et pas M_n(C)) ? Ou bien je me plante lourdement ou bien c'est vrai pour des matrices carrées de taille n \in N*

On diagonalise A_n € A -> A

Les vp de A_k sont a_n_k des racines truc_ième de l'unité. Par compacité a_n_f(k) -> a_k avec |a_k|=1 (c'est juste la compacité de U(n) en fait).

Maintenant les coefficients du polynome caractéristique sont des polynomes fonctions des éléments de la matrice donc continues et P(A) = lim P(A_n).
Les racines sont des fonctions continues des polynomes (résultat connu) et donc les racines de P sont les a_k.

On a donc prouvé (laborieusement) que l'adhérence de A est contenue dans B = l'ensemble des matrices dont toutes les vp sont de module 1.


Maintenant si l_1, .., l_n sont les vp de module 1 d'une matrice de B.
l_k = lim e^(2i*pi* p_k/q_k) il suffit de prendre A_n = P * diag (p_k/q_k) * P^-1. On a bien A_n^ppcm (q_k) = I

Bon, on me relisant, c'est pas très malin j'ai appelé aussi A la limite des A_n ....

Et P c'est la matrice de passage qui trigonalise la matrice de B.

Et d'ailleurs A c'est R. Bref c'est du n'importe nawak mes notations

Abdelbaki Attioui : est-ce correct et y a-t-il une solution plus simple ?

Bonjour
laisse un peu de temps pour que je puisse lire ta solution
merci
AA+

Je pense que dans la deuxième partie de ta preuve tu as supposé que la matrice de B était diagonalisable, mais c'est difficile à dire..
L'as-tu fait?

Si oui, cela peut être réparé facilement, en supposant que la matrice est sous la forme canonique de Jordan.
C'est ce que j'ai fait.
Et on peut approximer une telle matrice de B arbitrairement bien avec une matrice de la forme suivante :
sur sa diagonale il y a des racines distinctes de 1, et au dessus de la diagonale principale, à chaque fois qu'il y a des 1's pour la matrice dans B, il y a des 1's sur cette matrice aussi.
Et c'est tout.
Cette matrice sera diagonalisable, car toutes ses valeurs propres sont distinctes, et vu que ce sont des racines de 1, cela satisfera une équation de la forme A^n=1.
Donc ces 1's au dessus de la diagonale principale ne sont pas importants du tout; ils sont là juste pour que l'on puisse approximer la matrice de B.