inegalité

soient x_1,x_2,...x_n n réels >o n>=1 ;
x_1+x_2+...+x_n=1.
montrez que :(x_1)²+ (x_2)²+...+(x_n)² >=1/n
bon courage.

essayez pour n=2 puis pour n=3 puis generalisez (pas de recurrence!!)
bon courage

on peut remarquer que f(x)=x² est convexe
alors

Aissa a suggéré :
<< essayez pour n=2 puis pour n=3 puis generalisez (pas de recurrence!!) >>
et Toi , Selfrespect , tu nous balances une démo GENIALE d'un simple coup de pouce !!! Tbarq Allah 3aliq Aweldi !!! C'est simplement SUPERBE !!! Continue sur ton chemin illuminé !!! LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

Aissa a suggéré :
<< essayez pour n=2 puis pour n=3 puis generalisez (pas de recurrence!!) >>
et Toi , Selfrespect , tu nous balances une démo GENIALE d'un simple coup de pouce !!! Tbarq Allah 3aliq Aweldi !!! C'est simplement SUPERBE !!! Continue sur ton chemin illuminé !!! LHASSANE

Merçi MR Bourbaki ,
mais je crois que ma méthode est à rejeter , car l'exo etait destiné au éleves de tronc commun (dsl Mr aissa , jai pas fait attention )

remarquons que linegalité peut etre ecrite sous la forme **
on a : alors

alors on doit montrer que **
-----------------------------------------------------------------------
cette valeur nous rappelle d'un -delta
alors considerant la fct,

qq soit t de R F(t)>=0 ==> delta de F(t)=0 est =<0 (le coefficient de t² est >=0)

==>

==>
voila cette methode est b1 sur du tronc commun !!.

*=fois
Cauchy-schwarz
(x_1²+x_2²+x_3²+...+x_n²)(1+1+1...+1)>=(x_1+x_2+...+x_n)²
(x_1²+x_2²+x_3²+...+x_n²)*n>=1 vu que x_1+x_2+...+x_n=1
donc: x_1²+x_2²+x_3²+...+x_n²>1/n n>=1

codex00 a écrit:

*=fois
Cauchy-schwarz
(x_1²+x_2²+x_3²+...+x_n²)(1+1+1...+1)>=x_1+x_2+...+x_n
(x_1²+x_2²+x_3²+...+x_n²)*n>=1 vu que x_1+x_2+...+x_n=1
donc: x_1²+x_2²+x_3²+...+x_n²>1/n n>=1

oui codex , mais je crois que Mr aissa voulait une methode de tc

wé je vais chercher, mais tout mes camarades de classe connaissaient cauchy-schwarz au tc

salut tout le monde
si je me rappelle l'exo était
montrez que si x+y=1 x>o et y>o alors x²+y²>=1/2 olympiade TC
dans la solution se base sur x²+y²>=2xy
je me suis demandé est ce qu'on ne peut pas généraliser?
pour x , y et z >o ;x+y+z=1
on a x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+xz+yz)
=1-2(xy+xz+yz) >= 1- 2(x²+y²+z²)
donc x²+y²+z² >= 1/3
pour n réels >o , x_1,x_2,...,x_n ; sum(i=1^n, x_1 ) =1
on a x²_1 + x²_2 +...+x²_n= 1 - (sum( x_i*x_j , i<>j)
=1 - (n-1)(x²_1 + x²_2 + ...+ x²_n)
donc x²_1+x²_2+...+x²_n >= 1/n
rq : 2(x_1x_2 +x_1x_3+...+x_1x_n) =< (n-1)x²_1 +(x²_2+x²_3 + ...+x²_n)