Recherchons d'abord les solutions de cette equation (E) pour lesquelles l'une des inconnues est nulle, par exemple a.
Si a=0, on a (E) ssi bc=0, ce qui equivaut à b=0 et c qcq, ou c=0 et b qcq.On en déduit que les solutions de (E) pour lesquelles l'une des inconnues est nulle sont les triplets (0;0;k),(0;k;0)et(k;0;0), où k est un entier naturel.
Dans la suite, on suppose a,b et c non nuls.Alors (E) ssi 1/a+1/b+1/c=1
Si a>3,b>3 et c>3, on a 1/a+1/b+1/c<1
alors au moins une des sol <=3. Puisque a,b,c joue des roles symetriques, on peut supposer a<=3
Si a=1, (E) ssi 1/b+1/c=0 donc (E) ne possede pa de sol
Si a=2, (E) ssi 1/b+1/c=1/2.
Si b et c >4 alors 1/b+1/c<1/2, b et c jouant le meme role, on recherche donc les solutions tq b<=4
si b=0 ou 1 ou 2 pas de sol
si b=3 , c=6 (2,3,6) est sol
si b=4 , c=4 (2,4,4) est sol
Si a=3, (E) ssi 1/b+1/c=2/3
Si b et c >3 alors 1/b+1/c<2/3
si b=3, c=3 (3,3,3) est sol
Conclusion: les solutions de (E) sont les triplets
(0;0;k),(0;k;0),(k;0;0),(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3),(3,2,6),(3,6,2),(4,2,4),(4,4,2),(6,2,3),(6,3,2)
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