inegalité ..[x]

soient des réels
verifiants
montrer que
E(x)= la parie entiere de x
E(4)=4 ,E(3.4)=3 et E(pi)=3 et E(-4.1)=-5

BeStFrIeNd a écrit:

c par reccurence facile frero

pour n=1
on a │x│≤E(1/4)=1 est c vrai car 1≤1

posant ke

en montre ke pour n+1 la relation est vrai

on encadre E ((n+)²/4) et on encadre │ ∑ⁿXi + (n+1)X_(n+1)│

et on va trouvé ke │ ∑ⁿXi + (n+1)X_(n+1)│≤E ((n+)²/4) ( ddes calcules seulment)

alors on deduit ke qlq soit
on a
c facile on va utilisé ke n ≤E (n) ≤n+1 ....

est ce que tu peux nous faire voir comment tu vas l'encadrer!!

aussi chui pas sur dans ces exo com celui-ci d'utilisé la reccurence ben j'essayré une autre methode plus claire (pour l'encadrement j'ai deja fais had lexo alors j''ai reussi a lencadré c pa difficile)

Bonjour ;
Commençons par remarquer que pour tout entier m on a (n-2m)² >= 0
donc m(n-m) =< n²/4 et comme m(n-m) est un entier on a m(n-m) =< E(n²/4)
Dans la suite je note m=E((n+1)/2) ,
du fait que Sum {i=1..n} xi = 0 on a Sum {i=1..n} i.xi = Sum {i=1..n} ( i - (n+1)/2 ).xi
et donc | Sum {i=1..n} i.xi | =< Sum {i=1..n} | i - (n+1)/2 |.|xi|
et du fait que x1,..,xn £ [-1,1] on voit qu'on a | Sum {i=1..n} i.xi | =< Sum {i=1..n} | i - (n+1)/2 |
il faut maintenant remarquer que la somme en rouge est en fait la somme des distances
des n entiers i=1..n au (milieu) des deux entiers 1 et n , on a donc par symétrie ,
Sum {i=1..n} | i - (n+1)/2 | = 2.Sum {i=1..m} ( (n+1)/2 - i ) = m(n-m) (sauf erreur bien entendu)