problème N°12 de la semaine (16/01/2006-22/01/2006 )

le problème que j'ai choisi pour cette semaine est un problème posté au (espace arabe depuis le (6 DECEMBRE 2005) )Polynome

Bonjour
solution postée
voici la solution de adbelbaki attioui
On pose P(x)=a_nx^n+...+a_0 avec n>=0 et les a_i positifs non tous
nuls.

Soit x>0 . On a 1=<(P(1))²=(a_n+...+a_0)².

Or (a_n+...+a_0)²= (rac(a_nx^n) rac(a_n/x^n)+...+rac(a_0)rac(a_0))²
d'où, d'aprés Cauchy-Schwarz
1=< (a_nx^n+...+a_0)(a_n/x^n+...+a_0)= P(x)P(1/x).

Comme P est à coefficients positifs on a alors pour x>0:
P(x)P(1/x)>=1 <==> P(x)>=1/P(1/x) .

AA+

Bonjour
solution postée
voici la solution de mt2sr
P(x)=a_nx^n+...+a_0

on pour tout a>0 a+1/a>=2

P(x)*P(1/x)=sum(a_i, 0<=i<=n)+sum(a_i*a_j*x^(i-j), 0<=i<j<=n)+sum(a_i*a_j*x^(i-j), 0<=j<i<=n)
=sum(a_i, 0<=i<=n)+sum(a_i*a_j*(x^(i-j)+x^(j-i)), 0<=j<i<=n)
>=sum(a_i, 0<=i<=n)+2sum(a_i*a_j), 0<=j<i<=n)
=P(1)*P(1/1)>1

Bonjour,

Solution postée (mieux vaut tard que jamais)

voici la solution de lolo

L'hypothèse est que ( Somme a_i)^2 >= 1 (où les a_i sont les coefficients de P .
Or P(1/x)P(x) = (Somme a_i^2)+ Somme i<j a_ia_j ( U +1/U) où U= x^(i-j) et comme U+1/U >=2 l'_expression est minorée par la précédente.

lolo