un carrée parfait

Bonjour
Soient m et n dans IN tels que 3m²+m=4n²+n
Montrer que m-n est un carrée parfait
A+

3m²+m=4n²+n
on poz d=pgcd(m,n) et n=da et m=db
alors 3d²b²+db=4d²a²+da
3db²+b=4da²+a
d ou 4d(b-a)(b+a)+b-a=db² ainsi b-a/d et d/b-a
d ou d=b-a ainsi d²=db-da=m-n
conclusion m-n=(pgcd(m,n))²

bien Bel_jad5 . tu es plus vite que moi

samir: c était juste un coup de chance !

samir: c était juste un coup de chance !

bel_jad5 a écrit:

samir: c était juste un coup de chance !

non tu est vraiment trés fort

bonsooir
on peut généraliser ce problème

soit p, q deux entiers on pose e=pgcd(p,q)

on suppose que q-p=e^2

alors si p*m^2+m=q*n^2+n donc m-n est carré parfait


@++

j'ai une idée de solution
on pose m-n=a
donc p*m^2+m=q*n^2+n
devient
(q-p)n^2-2pan-(p*a^2+a)=0
Le discriminant réduit
(delta)'=a(pqa-e^2)=a([a(e^2+p^2+q^2)/2 -e^2])
puisque n est un entier alors (delta)' doit etre un carré parfait
donc il suffit de la montrer

mauvaise piste (samir)
@++

mt2sr a écrit:

mauvaise piste (samir)
@++

je le crois aussi

vous pouvez montrer que n-m=(ed)² avec e=pgcd(p,q) et d=pgcd(m,n)