TRouver a,b,c

Slt:
Trouver tous les entiers relatifs a, b, c, d tels que :

ac - 2bd = 3
ad + bc = 1

c fini

Bonjour,

a et c sont non nuls, sinon, on aurait bd = -3/2, impossible
En éliminant a et puisque c différent de 0, on trouve b = (c - 3d)/(c^2 + 2d^2), et donc c=3d ou |c-3d| >= c^2 + 3d^2

Le cas b=0 et c=3d conduit à deux solutions :
(1, 0, 3, 1)
(-1, 0, -3, -1)

Il reste deux cas :
c - 3d >= c^2 + 3d^2 <=> (c-1/2)^2 + 3(d+1/2)^2 <= 1 ==> (c,d) peut être (0,0), (0,-1), (1,0) et (1,-1)
3d - c >= c^2 + 3d^2 <=> (c+1/2)^2 + 3(d-1/2)^2 <= 1 ==> (c,d) peut être (0,0), (0, 1), (-1,0) et (-1,1)

de ces 7 cas, on élimine tout de suite ceux pour lesquels c = 0.
En vérifiant chacun des 4 cas envisageables restants, il vient deux solutions au problème initial :

(3, 1, 1, 0)
(-3, -1, -1, 0)

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Au résultat, on a 4 solutions au problème initial :
(1, 0, 3, 1)
(-1, 0, -3, -1)
(3, 1, 1, 0)
(-3, -1, -1, 0)


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Patrick