Inégalité 6

Bonsoir!

Soient a,b,c tels que : et .

Montrer que :


Bonne chance!

Bonjour
abc=1 et a=<b=<c ==> a=<1=<c.

a+b² >= a²+b² >= 2ab=2/c >= 2/c^3
b²+c^3 >= b²+c² >= 2bc=2/a

Si b>=1, alors
a+c^3 >= a²+c² >= 2ac=2/b >= 2/b²

Si b<1, alors
a+c^3 = c^3(1+a/c^3) >= 2c²r(a/c)=2r(a²b)/a²b²=2r(b)/ab²>=2r(b)/b^3>=2/b²

Donc a+b²+c^3 >= 1/a+1/b²+1/c^3

A++

Oui, bravo!

Et maintenant, que dis-tu d'une petite généralisation?

Bonjour
Voici une généralisation possible

AA++

Oui, c'est ce que j'avais en tête, mais, aurais-tu une preuve de cette généralisation?

Bonsoir
Peut-etre une recurrence sur n.
C'est pour n=1 , n=2 et n=3. On suppose vrai pour n-1.
Soient 0<a_1=<...=<a_n tels que a_1.....a_n=1
On pose b_1=a_1 .... b_(n-1)=a_(n-1)a_n
On a 0<b_1=<.....=<b_(n-1) ( car a_n>=1) et b_1...b_(n-1)=1

H.R ==> b_1+....+b_(n-1)^(n-1) >= 1/b_1+.....+1/b_(n-1)^(n-1)

c-à-d

a_1+...+(a_(n-1)a_n)^(n-1) >= 1/a_1+...+1/(a_(n-1)a_n)^(n-1)


Il reste à montrer que
a_(n-1)^(n-1)+a_n^n - 1/(a_(n-1)^(n-1)+1/a_n^n >=
(a_(n-1)a_n)^(n-1) -1/(a_(n-1)a_n)^(n-1)

AA+

Il me semble que la dernière inégalité est fausse
(c. ex. : a_(n-1) = a_n = 2 et n --> +oo)

c'est la récurrence ou la proposition qui est fausse

Le "il reste à montrer que".