L'ensemble de continuité d'une limite simple est dense

Soit f_n : [0; 1] --> IR continues, qui convergent simplement vers une fonction f. Montrer que les points de continuité de f sont denses.

Je le connais déjà celui-là

Une variante :

Montrer que l'ensemble des points de non-continuité de la limite est de mesure de Lebesgue nulle

ca ressemble aussi au théorème de SARD

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit f_n : [0; 1] --> IR continues, qui convergent simplement vers une fonction f. Montrer que les points de continuité de f sont denses.

Je pense avoir lu quelque part un critère pour qu'une fonction ait un ensemble de points de continuité dense.
Quelqu'un connaitraît-il quelque chose à ce sujet?

Penser au th. de Baire

Hmm oui.

mathman a écrit:

Hmm oui.

Penser aussi à la compacité de [0,1]

Hmm en fait, que nous dit Baire?

mathman a écrit:

Hmm en fait, que nous dit Baire?

Dans un espace métrique complet une intersection dénombrable d'ouverts denses est dense

Quelconque? pas juste dénombrable?

EDIT: hmm (0;1)-un point est ouvert et dense dans [0;1] mais leur intersection est tout ce qu'on veut
EDIT_2 : (0;1)\{x}
Bizarre, ça semble contredire même le cas dénombrable (??)

mathman a écrit:

Quelconque? pas juste dénombrable?

EDIT: hmm (0;1)-un point est ouvert et dense dans [0;1] mais leur intersection est tout ce qu'on veut
EDIT_2 : (0;1)\{x}
Bizarre, ça semble contredire même le cas dénombrable (??)

Oui. Trés bien intersection dénombrable ( c'est corrigé)
Inutile de chercher un contre exemple. c'est un théorème de Baire

Ok!

Il y a un th. plus général que celui de Baire. C'est le th. de Mittag Leffler.