abdelbaki.attioui
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 | | Sujet: Matrice de trace nulle Lun 30 Jan 2006, 23:43 | |
| Soit A une matrice de trace nulle. Montrer qu'il existe P orthogonale telle que tPAP soit de diagonale nulle. ( tP est la matrice transposée) | |
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tµtµ
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| | Sujet: Re: Matrice de trace nulle Ven 03 Fév 2006, 15:24 | |
| Comme toujours en algébre linéaire en dim finie, il faut, sans hésitation, raisonner par récurrence ! Pour amorcer la pompe il faut trouver u unitaire tq que <Au,u> = 0 (c'est souvent l'étape critique de ces exos là). (v1,.., vn) la base canonique de IR^n On a tr(A) = \sum <Avi,vi> = 0 Donc sur la sphère unité S1, x -> <Ax,x> ne peut pas garder un signe constant. Par continuité de <Ax,x> et connexité de S1 on peut trouver u € S1 tq <Au,u> = 0. On complète u pour obtenir un base ortho. A = tP1 * B * P1 et B a les mêmes propriétés que A avec en plus B(1,1) = 0. On peut appliquer l'hypothèse de réc à B(2..n,2..n). | |
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