Trace nulle.

Soit M une matrice n x n à coefficients complexes et de trace nulle. Montrer qu'il existe un vecteur x non-nul tel que (x^* est le transposé du conjugué du vecteur colonne x € C^n).

la forme quadratique x--->x*Mx n'est pas définie vu que tr(M)=0

Comment est-ce que cela ne pourrait "pas être défini"?
C'est l'expression : x^*Mx. Etant donné un vecteur x, x^*Mx est un nombre complexe, et c'est tout ce qu'il y a à dire dessus.
Quel le problème avec ça?

ne pas confondre fonction définie et forme définie positive

Est-ce que tu peux m'expliquer clairement ce que tu veux dire s'il te plaît?

Revoir le cours sur les formes quadratiques

http://www.les-mathematiques.net/b/c/h/node13.php3 ?

Je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire..

Ce que cela signifie est que :

- la fonction x |--> x^*Mx existe ( ! évidemment ! )
- en tant que forme quadratique, ce n'est pas une forme " définie " ( cad, par définition, qu'il existe des x non nuls qui l'annulent ).

Ton exercice est donc un résultat classique : si Tr M = 0, la forme quadratique associée est non définie. En effet quitte à changer de bases, on peut supposer M diagonale avec comme coeff. 1, -1 ou 0. Si un de ces coeff est 0, on trouve facilement un x non nul comme il faut. Sinon, il y a forcément au moins un 1 et un -1, et de même on trouve facilement un x non nul comme il faut.

Ok, merci d'avoir expliqué en détails!

En lisant ta preuve, voilà le petit dialogue que je me suis fait :
Je ne vois pas pourquoi ils n'arrêtent pas de mentionner ces formes définies positives ou je ne sais trop quoi.
Le problème est :
M est de trace nulle.
Montrer que la fonction x -> x^*Mx prend la valeur zéro pour un certain x non nul.
C'est tout.
Qu'est-ce qui ne va pas avec ça, exactement?

Mm, et donc?
Ca nous dit que cette forme prend soit uniquement des valeurs positives soit des valeurs négatives. Elle prend des valeurs complexes.
Qu'est-ce qu'il se passe, si, disons, elle prend des valeurs dans tout le plan complexe à part zéro. Enfin, pour les vecteurs non-nuls je veux dire.

Non, on ne peut pas.
Oh, oui, pour les formes quadratiques on peut.
Mais comment on utilise la trace ici?
Qu'est-ce qu'on fait à M, exactement?
Est-on en train d'essayer de la diagonaliser? ou de la remplacer par S^*MS pour une certaine S?
Parce que dans le premier cas on ne sait pas que c'est diagonalisable, et dans le deuxième l'opération ne préserve pas la trace.


Enfin bon, je réfléchirai encore à ça ce soir!

Merci encore pour votre aide!

(et n'oubliez pas que je ne suis qu'un Terminale S désireux d'apprendre de nouvelles choses )

Ok, j'ai quelques questions.

Tu dis que M peut être supposée diagonale avec -1, 1 et 0 sur la diagonale, via un changement de base.
Si ceci était vrai, alors M ne prendrait que des valeurs réelles, ce qui n'est pas le cas.
Je rappelle que x^* est le conjugué du transposé de x, pas simplement le transposé.
Ce n'est pas une forme quadratique (d'après la définition que je connais), i.e. que cela ne provient pas d'une forme bilinéaire, mais d'une forme sesquilinéaire x,y -> (Mx,y).
C'est linéaire par rapport à la première variable, et anti-linéaire par rapport à la deuxième.

Effectivement, une forme quadratique peut être ramenée à une forme canonique, où elle est représentée comme une somme de carrés (dans C; dans R c'est une somme de carrés moins une autre somme de carrés), mais ceci n'a rien à voir avec notre problème.