Une jolie inégalité combinatoire.

Soient P_1, ..., P_n des points dans le carré unité.
Soit x_i la plus petite distance de P_i à n'importe lequel des P_j, j \neq i.
Prouver que x_1² + ... + x_n² <= 4.

Bonsoir mathman , jolie inégalité combinatoire
Notons C le carré unité et soit Ci le carré de centre Pi dont les côtés sont parrallèles à ceux de C et de mesure xi.
L'idée est de remarquer qu'au moins l'un des quatres carrés (de sommet Pi et de côté de mesure xi/2)
constituant Ci est contenu dans C et puis que ces n (quarts de) carrés sont d'intérieurs disjoints.
La somme de leurs aires est donc inférieure ou égale à l'aire de C (sauf erreur bien entendu)

elhor_abdelali a écrit:

Bonsoir mathman , jolie inégalité combinatoire

Sinon, peux-tu détailler ta preuve?

Bonjour mathman ;
voir ici http://www.ilemaths.net/forum-sujet-140532.html (sauf erreur bien entendu)

Ok, merci.

elhor_abdelali a écrit:

Comme et les deux carrés et de centres respectifs et , de côtés respectifs et
et dont l'un des côtés et paralléle à (voir dessin) sont d'intérieurs disjoints.

Comment peux-tu choisir les C_i de telle façon qu'ils aient un côté parallèle à (P_iP_j) pour tout j?

OK , il y'a effectivement un problème dans le choix des Ci ce sont plutôt des Cij
Sinon as tu une solution plus rigoureuse ? (merci)

Ok.

En fait, au début (quand je l'ai postée), je pensais avoir trouvé une jolie solution (dans le même genre que la tienne), mais je me suis ensuite aperçu qu'il y avait une erreur..
Du coup maintenant la seule solution que j'ai est une distinction de je-ne-sais-pas-combien de cas

En fait la difficulté de ce problème provient du fait que les configurations optimales sont différentes, et ont lieu pour des valeurs de n différentes.

Merci mathman ,
puis je te demander l'origine de ce problème ? (si ce n'est une réflexion personnelle bien entendu)

Oui; il a été proposé lors d'un stage d'entraînement aux OIM, mais je n'en connais pas vraiment l'origine..

Camélia a écrit:

Si on prend les n points dans l'hypercube [0,1]^k, et si on garde les définitions, il me semble qu'on démontre exactement de la même manière que

Cette généralisation a l'air jolie, ceci dit je ne suis pas convaincu qu'elle soit vraie.

EDIT : ah, peut-être qu'elle est effectivement vraie; du moins je n'ai pas encore trouvé de contre-exemples.

Ok !
Il me semble que la généralisation proposée par Camélia est fausse si on considére la partie {P1,P2} où ,
[P1P2] est une diagonale du cube [0,1]x[0.1]x[0,1] (sauf erreur)

Hmm ah oui Camélia a pris les puissances k-èmes, il faut bien sûr prendre les carrés. (du coup ton contre-exemple n'en est plus un, et c'est à cette généralisation que je pensais, même si j'ai bêtement recopié l'erreur de Camélia dans mon post précédent)

Alors il y aura toujours deux cas d'égalité :
soit tous les sommets du cube,
soit tous les sommets où la somme des coordonnées est paire
(ou tous ceux où la somme est impaire, ce qui est en gros la même chose).