bon exercice

salut a tout
determiner tout les fonctiones de R vers R continue tel que pour tous x y
f [(x+y)/2] = f [f(x) + f(y)]/2

Bonjour,

otman4u a écrit:

salut a tout
determiner tout les fonctiones de R vers R continue tel que pour tous x y
f [(x+y)/2] = f [f(x) + f(y)]/2

En faisant x=y, on a f(2f(x))=2f(x) et donc :
(P1) : f(2x)=2x pour tout x de f(R).
En particulier :
(P2) : f(2^n u)=2^n u pour tout u de f(R).
Par continuité, on a de plus : pour tous x,y de R, il existe z tel que f(z)=(f(x)+f(y))/2. Donc f(x)+f(y)=2f(z) et donc f((f(x)+f(y))=f(x)+f(y)

Donc f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2, donc f(y)=2f((x+y)/2)-f(x).
En faisant x=2^n u et y=-x dans l'équation ci dessus, il vient :
(P3) : f(-2^n u)=2f(0) - 2^n u pour tout u de f(R)

Maintenant :
1) Soit f(x)=0 pour tout x et c'est une solution
2) Soit il existe u tel que f(u) différent de 0 et, d'après P2 et P3 et la continuité de f, f(R)=R, et donc, d'après P1, f(x)=x pour tout x de R

Les deux seules solutions continues sont donc f(x)=0 et f(x)=x.

--
Patrick

pco a écrit:

En faisant x=y, on a f(2f(x))=2f(x) et donc :

bonjour pco
en posant x=y on aurra f(x)=f(f(x))
.......
et dsl il ya un petit problém c'est que j'ai trompé dans l'ecriture de l'exercice ... f[(f(x)+f(y))/2]=[f(x)+f(y))/2
mais puisque le premier exercice accepte une réponse alors on répond sur les deux exercice

otman4u a écrit:

f((f(x)+f(y))/2)=(f(x)+f(y))/2

Bon, on change d'exercice, donc.
x = y ==> f(f(x))=f(x) ==> f(x) = x pour tout x de f(R)
Il est facile de voir que f peut être quelconque (mais dans f(R) ailleurs.
D'où les familles de solutions suivantes

1) f(R) = R ==> f(x)=x
2) f(R) = ]a,+oo[ : impossible car lim(f) quand x tend vers a+ vaut a
3) f(R) = [a, +oo[ : f(x)=x sur [a,+oo[ et f(x) quelconque continue >= a ailleurs.
Par exemple : f(x) = a+|x-a|, ou encore f(x)=x^2-(2a-1)x+a^2+a - |x-a|(x+a-1) ...
4) f(R) = ]-oo, b] (on élimine b[ comme ci dessus) : même chose : f(x) = x sur ]-oo, b] et f(x) quelconque mais continue et <=b ailleurs.

5) f(R) = [a,b] (on élimine les bornes ouvertes) et f(x)=x sur [a,b] et f quelconque continue et dans [a,b] ailleurs.

Donc une infinité de solutions.

--
Patrick

pco a écrit:

otman4u a écrit:

f((f(x)+f(y))/2)=(f(x)+f(y))/2

Bon, on change d'exercice, donc.
x = y ==> f(f(x))=f(x) ==> f(x) = x pour tout x de f(R)
Il est facile de voir que f peut être quelconque (mais dans f(R) ailleurs.
D'où les familles de solutions suivantes

1) f(R) = R ==> f(x)=x
2) f(R) = ]a,+oo[ : impossible car lim(f) quand x tend vers a+ vaut a
3) f(R) = [a, +oo[ : f(x)=x sur [a,+oo[ et f(x) quelconque continue >= a ailleurs.
Par exemple : f(x) = a+|x-a|, ou encore f(x)=x^2-(2a-1)x+a^2+a - |x-a|(x+a-1) ...
4) f(R) = ]-oo, b] (on élimine b[ comme ci dessus) : même chose : f(x) = x sur ]-oo, b] et f(x) quelconque mais continue et <=b ailleurs.

5) f(R) = [a,b] (on élimine les bornes ouvertes) et f(x)=x sur [a,b] et f quelconque continue et dans [a,b] ailleurs.

Donc une infinité de solutions.

--
Patrick

bravo patric
regarde le sujet bon exercice 2