inégalité n-- ieme

a,b,c sont les longueurs des cotés d'un triangle tels que :
a+b+c=1
et n un entier naturel n>1
Montrer que
inégalité n-- ieme Inegal10

samir a écrit:: a,b,c sont les longueurs des cotés d'un triangle tels que :
a+b+c=1
et n un entier naturel n>1
Montrer que

tjrs les meilleurs farao

Conan a écrit:

samir a écrit:: a,b,c sont les longueurs des cotés d'un triangle tels que :
a+b+c=1
et n un entier naturel n>1
Montrer que

tjrs les meilleurs farao

ezn attandant tes reponse Suspect

ben utilise la derivation king

Expert grade2 Nombre de messages : 349 Age : 33 Date d'inscription : 29/04/2007

termine la réponse stp

Grâce à la symétrie on peut supposer que a>=b>=c.
Puisque a, b et c sont les cotés d’un triangle alors on a : a<b+c donc 2a<a+b+c=1 d’où a<1/2.
Alors b=<a<1/2 => b^n=<a^n<1/2^n => b^n+a^n<1/2^ (n-1) => (b^n+a^n) ^1/n<2^n/2.
D’autre part on a grâce au binôme de Newton (b+c/2) ^n=b^n+n/2*c*b^ (n-1) +… (Qui sont tous positifs) ; et puisque b>=c alors c*b^ (n-1)>=c^n donc (b+c/2) ^n>=b^n+c^n.
D’où b+c/2> (b^n+c^n) ^1/n. On fait la même chose pour montrer que a+c/2> (a^n+b^n) ^1/2
Ajoutons les trois inégalités cotés par cotés=>
(a^n+b^n) 1/n+ (a^n+c^n)^1/n+(b^n+c^n)^1/n<a+b+c+2^n/2=1+2^n/2.

Bravo boukharfane radouane , ta solution est juste et astucieuse (à quelques erreurs de frappe prés Very Happy

)

samir a écrit:: a,b,c sont les longueurs des cotés d'un triangle tels que :
a+b+c=1
et n un entier naturel n>1
Montrer que

Salut voila une nouvelle question : bounce

a l'zaide des mm données montrer que
[n]sqrt(a^n+b^n)+[n]sqrt(a^n+c^n)+[n]sqrt(b^n+c^n)>{[n]sqrt(2)}
(latex ne fonctionne po ::!!)
tel que [n]sqrt(x)=x^{1/n}

est-ce-que la fonction f(x)=x^{1/n} est convex?

wiles a écrit:: est-ce-que la fonction f(x)=x^{1/n} est convex?

pour n>1 ele n'est po ~~convexe~~ (voir la racine carrée c'est le mm)
lol ==> pale

c'est le # en arabe (mo9a3ara) c a d convexe

Maître Nombre de messages : 240 Age : 35 Date d'inscription : 31/03/2007

sa courbe est au dessou de tous les tangentes

donc elle est concave

mais enfin elle quoi au juste ? convex ou nn?

Maître Nombre de messages : 240 Age : 35 Date d'inscription : 31/03/2007

wiles a écrit:: mais enfin elle quoi au juste ? convex ou nn?

nn elle n est po convexe

lol en arabe on dit mo9a3ara ==> convexe
mo7adaba ==> concave ( Laughing

) cé tt afait le contraire !!
ben cette fct est concave Smile

Maître Nombre de messages : 240 Age : 35 Date d'inscription : 31/03/2007

convexe en arabe mo7daba

concave==>mo9a3ara

elle tres simple avec MINKOWSKY mais je ne vois pas l'utilité du faite que a b et c soient des longeurs du coté d'un triangle
on a:(minkowsky)
((a+c)^n+(a+b)^n)^1/n <=(a^n+b^n)^1/n+(a^n+b^n)^1/n
et on a:(minkowsky)
((a+b+c)^n+(a+b+c)^n)^1/n<=(b^n+c^n)^1/n+((a+c)^n+(a+b)^n)^1/n
donc: (a+b+c=1)
2^1/n<=(b^n+c^n)^1/n+((a+c)^n+(a+b)^n)^1/n
et puis on conclus

bien fait wiles tu peux le faire en remarquant que
2^{n-1} (a^n+b^n) >=(a+b)^n

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