problème N°83 de la semaine (28/05/2007-03/06/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
voici la solution de Raa23
on a en gros un polynome du 2nd degré en b qui est toujours positif ou
nul
donc son determinant D est négatif ou nul
or D=(a-c)^2(M-3)(M+1)<=0
donc -1<=M<=3

Raa23

Bonsoir,
Solution postée !
cordialement
voici la solution de jamel

bonsoir
je voudrais tout simplement savoir a quelle année scolaire
ce probléme est il destiné?

BSr tout le monde c ma première participation

solution postée!!!
voici la solution de neutrino
slt Mr samir
voici la solution de neutrino

on c que a²+b²+c²-ab-bc-ca >=0 ( on pe la démontrer à partir de (a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0 )

donc M=0

et on a:

a²+b²+c²-ab-bc-ca-M(a-b)(b-c)>=0

<==>

a²+b²+c²-ab-bc-ac-M(ab-ac-b²+bc)>=0

<==>

a²+b²+c²-ab-bc-ac-M( -[(a-b)²-(a²+b²)]/2 +[ (a-c)²-(a²+c²)]/2 - b² - [ (b-c)²-(b²+c²)]/2 )>=0

a²+b²+c²-ab-bc-ac-M( -(a-b)²/2 +(a-c)²/2 - ( b-c)²/2 +2b² ) >= 0

(a-b)²/2 + (a-c)²/2 + (b-c)²/2 -M( (a-b)²/2 +(a-c)²/2 - ( b-c)²/2 +2b² ) >= 0

[(a-b)²/2][1+M] + [(a-c)²/2][1-M] + [ (b-c)²/2][1+M] - 2Mb² >= 0

[1+M] [ (a-b)²/2 + (b-c)²/2] + [(a-c)²/2][1-M] - 2Mb²>=0

on sait que pour qu'une somme soit postitive un terme au minimum doit etre positif

supposons que [1+M] [ (a-b)²/2 + (b-c)²/2]>=0
donc:
1+M >=0

M>=-1

supposons [(a-c)²/2][1-M]>=0
donc
1-M>=0

M<=1

supposons que - 2Mb²>=0
donc

M<=0

et les valeurs de M sont logiques et convenables pour les trois suppositions ensemble



conclusion: M=0 et -1<=M<=1

j'espere que c juste , sauf une erreur de frappe bien sur

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour,
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=2(a²+b²+c²-ab-bc-ca)>=2M(a-b)(b-c)
Posons x=a-b et y=b-c. L'inégalité devient: x²+y²+(x+y)²>=2Mxy
Ou encore, x²+y²>=(M-1)xy.
Mais, inf{t²-t(M-1)+1 / t dans IR}=(3-M)(1+M)/4
Donc, x²+y²>=(M-1)xy <==> M dans [-1,3].
A+

salut les amis

est ce que , on doit cherché aussi M selon a et b et c ?

oumayma a écrit:

bonsoir
je voudrais tout simplement savoir a quelle année scolaire
ce probléme est il destiné?

c'est adressé a tout le monde a partir du college je croi

Conan a écrit:

salut les amis

est ce que , on doit cherché aussi M selon a et b et c ? study

M ne dépend pas de a,b ou c je pense d'apres l'enoncé

solution postée
voici la solution d'aissa
SALUT SAMIR
on sait que |(a-b)(b-c)| =< [(a-b)²+(b-c)²]/2
alors : |(a-b)(b-c)|=< (a²+c²)/2 +b²-ab-ac=<a²+b²+c²-ab-bc-ac . on a égalité pour a=b=c.
donc l'ensemble des valeurs de M est :]-oo,1].
وحسبي انا من عطايى الوجود شعور نقي وعثل منير
اذا كان همي شراب وقوت فما الفرق بيني وبين الحير?

Bonjour
Solution postée.
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir

posons : S = a² + b² + c² - ab - bc - ac

Par symétrie des rôles : supposons : a <= b <= c

S >= M (a-b)(b-c) <===> S - (a-b)(b-c) >= (M-1)(a-b)(b-c)
<===> (a-b)² + (b-c)² >= (M-1) (a-b)(b-c) (I)
° Si M <= 1 : ( I ) est vraie
° Si M > 1 : ( I ) <===> 0 < M-1 <= 2
<===> 1< M <= 3
Conclusion: pour tt M <= 3 on a le résultat

[u]solution postee

voici la solution de badr

solution postée
voic la solution d'anas_ch
voila ma methode
on a : a²+b²+c²-ab-ac-bc ≥M(a-b)(b-c)
<=> -b(a-b)+c(a-b)+a²+c²-2ac ≥M(a-b)(b-c)
<=> (c-b)(a-b)+(a-c)²≥M(a-b)(b-c)
<=> -(a-b)(b-c)+(a-c)² ≥M(a-b)(b-c)
<=> (a-c)²≥M(a-b)(b-c)+(a-b)(b-c)
<=> (a-c)² ≥ (M+1)(a-b)(b-c)(1)
on sait que 2(a²+b²+c²)≥2(ab+ac+bc)
donc a²+b²+c² ≥ab+ac+bc <=>a²+b²+c²-ab-bc-ac ≥0
<=> a²-ac-ac+c² ≥-ac+ab-b²+bc
<=>(a-c)² ≥a(b-c)-b(b-c)<=>(a-c)²≥(b-c)(a-b) (2)
et en sait aussi que (a-c)² ≥0(3)
de (1)et(2)et(3) nasstantijo ana M=-1 et M=0 realise l'enegalité qlq soit a et b et et c

bonsoir tt le monde
solution postée
voici la solution d'oumayma
(a-b)2 =a2+b2-2ab
(a-c)2=a2+c2-2ac
(b-c)2=b2+c2-2bc
(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2= 2[a2+b2+c2-ab-ac-bc]

(1 :2)[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]≥M(a-b)(b-c)
Si b=c ou a=b M= R
Si a≠b≠c et (a-b)(b-c)≥0
M≤(1/2)[(a-c)2+(a-b)2+(b-c)2]
Si a≠b≠c et (a-b)(b-c)≤0
M≥(1 :2)[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]

Bonsoir Mr SAMIR !!!
Solution au Pb 83 postée ce soir.
Amitiés. LHASSANE
voici la solution de BOURBAKI
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 83.
Soient a,b et c trois nombres réels donnés ; on notera D l’ensemble décrit par les réels M vérifiant l’inégalité :
a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >= M.(a-b).(b-c) (*)
Observons tout de suite que la majorante est toujours positive, en effet , on peut écrire : a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=(1/2).(a-b)^2+(1/2).(b-c)^2+(1/2).(c-a)^2
Il se dégage alors la discussion suivante :
1) Si a=b alors la minorante est nulle et donc tout réel M satisfait (*) d’où D=IR.
2) Si b=c,on a la même conclusion que précédemment donc aussi D=IR.
3) Si a<>b et b<>c, on a deux sous-cas à traiter :
(i) Si a=c alors (b-c)^2 >= -M.(b-c)^2
Ce qui exige M>= -1 donc D=[-1,+Infini[ .
(ii) Si a<>c auquel cas a,b et c sont 2à2 distincts .
Introduisons la fonction sgn de IR* dans {-1,1} :
par sgn(x)=x/Abs(x) puis posons aussi :

A=(1/2)Abs((a-b)/(b-c))+(1/2)Abs((b-c)/(a-b))+(1/2)Abs((c-a)^2/[(a-b)(b-c)])
Alors (*) s’écrira :
A >=M.sgn(a-b).sgn(b-c)
Cela conduit aux six cas ( permutations de (a,b,c) ) suivants :
On aura D=]-Infini,A] dans les deux cas :
a<b<c ou c<b<a
et enfin D=[-A,+Infini[ dans les quatres cas :
a<c<b
c<a<b
b<a<c
b<c<a
Remarque : le cas (i) correspondant à a=c peut être incorporé à l’un des 4 cas ci-dessus ( par exemple le premier a<=c<b ) puisqu’alors A=1 si a=c.

Ce qui termine la solution.
AMITIES . LHASSANE

Mr Samir

j'ai oublié de dire que j'ai posteé la solution hier a minuit !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

par message privé

Bonjour Samir

j'ai compris qu'on demandait juste une condition suffisante pour avoir l'inégalitée.

bonjour Mr samir / solution postée (message privé) / pk elle n'est pas la ?

paske tu l'a postée en message privé!
lis les consignes la prochaine fois

Raa23 a écrit:

paske tu l'a postée en message privé!
lis les consignes la prochaine fois

ce n'est pas moi le seul , en plus elle est trés bien presentée !!