| Problème de juin 2007 | |
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+4ericcc Jamel Ghanouchi Alaoui.Omar abdelbaki.attioui 8 participants |
Auteur | Message |
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abdelbaki.attioui Administrateur
Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
| Sujet: Problème de juin 2007 Jeu 31 Mai 2007, 11:23 | |
| Soient f,g :R ---> R dérivables et non constantes telles que : Pour tous x,y dans R
f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y) et g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y).
Montrer que si f'(0) = 0 alors (f(x))² + (g(x))² = 1 pour tout x. | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
Nombre de messages : 2564 Localisation : maroc Date d'inscription : 27/11/2005
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Jeu 31 Mai 2007, 11:25 | |
| Salut, Pour participer prière de :
1) Poster votre réponse par E-MAIL
abdelbaki.attioui@menara.ma 2) Envoyer ici le message "Solution postée"
Merci | |
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Alaoui.Omar Expert sup
Nombre de messages : 1738 Age : 34 Localisation : London Date d'inscription : 29/09/2006
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Jeu 31 Mai 2007, 13:08 | |
| Solution Postée... https://i.servimg.com/u/f19/10/07/24/75/bleme_10.gif image n'est plus valide ..
Dernière édition par Alaoui.Omar le Dim 15 Fév 2009, 08:36, édité 2 fois | |
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Jamel Ghanouchi Débutant
Nombre de messages : 9 Date d'inscription : 26/03/2007
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Sam 02 Juin 2007, 12:32 | |
| Bonjour, Solution postée, cordialement
Ma solution au problème du mois de juin
Jamel Ghanouchi e-mail :jamel.ghanouchi@topnet.tn
Enoncé
f(x + y)= f(x)f(y) - g(y)g(x)
g(x + y)= f(x)g(y)+ f(y)g(x)
f0(0) = 0 f(x)2 + g(x)2 =1
.
Ma solution
1
f(x + x)= f(x)f(x) - g(x)g(x)= f(x)2 - g(x)2 = (2f(x)2 - 1 - 2g(x)2 + 1)
21
= f(x)2+g(x)2-2g(x)2 = -f(x)2-g(x)2+2f(x)2 =(f(x)2+g(x)2-2g(x)2-f(x)2-g(x)2+2f(x)2)
2 11
. ( 2(f(x)2 + g(x)2 - 1+2g(x)2 - 2g(x)2 - f(x)2 - g(x)2 +2f(x)2) = 2(2f(x)2 - 1)) 1 1
= f(x)2 - g(x)2 + (2g(x)2 - 1)= (f(x)2 + g(x)2 - 1+ f(x)2 - g(x)2)
22 1 1 111
((f(x)2 + g(x)2 - 1)= (f(x)2 - g(x)2)+ (2g(x)2 - 1)= (2f(x)2 - 1) - (f(x)2 - g(x)2))
. 2 2222 et
1 1
(f(x)2 + g(x)2 +1 - 2f(x)2 - 2g(x)2 - f(x)2 - g(x)2 +2f(x)2)= (1 - 2g(x)2)
2211
. f(x)2 + g(x)2 - 1= 2(-f(x)2 + g(x)2 +2g(x)2 - 2)+ 2(1 - 2g(x)2)) 1 11
= - (2f(x)2 - 1) + g(x)2 - 1= (2f(x)2 - 1) - (f(x)2 - g(x)2)
222 1
(2f(x)2 - 1= (f(x)2 - g(x)2 +2g(x)2 - 2))
. 2 1 . (2f(x)2 - 1= 2(g(x)2 + f(x)2) - 1) . (f(x)2 = g(x)2) et
f(x)= ±g(x); 8x
donc
±f(x + y)= f(x)f(y) - g(x)g(y)= f(x)g(y) - f(y)g(x) f0(0) = 0 indique que f possède un extrémum en le point d’abcisse 0. Donc, si f(x) = 0; 68x g(x) = 0; 68x (±f(0) = ±f(x - x)= ±f(-x + x)= f(x)g(-x)-f(-x)g(x)= f(-x)g(x)-f(x)g(-x) = 0) (g(-x) = f(-x) )
. g(x) f(x) Or
f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)= g(-x) f(x)2 + f(-x) g(x)2
g(x) f(x) = gg(-(xx) ) (f(x)2 + g(x)2)= ff(-(xx) ) (f(x)2 + g(x)2)
et
(f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)= f(-x) g(x)2 + g(-x) f(x)2)
f(x) g(x) =(f(-x) f(-x)2g(x)2 + g(-x) g(-x)2f(x)2 )
f(x) g(-x)2 g(x) f(-x)2
=(g(-x) f(-x)2g(x)2 + f(-x) g(-x)2f(x)2 )
g(x) g(-x)2 f(x) f(-x)2 g(x) f(x) f(-x)
=( g(-x) (f(-x)2 + g(-x)2)= f(-x) (f(-x)2 + g(-x)2)= f(x) )
soit
f(-x)2 = f(x)2f(-x)2 + f(x)2 g(-x)2
continuons
f(-x) g(-x)
=(f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)= f(x) (f(x)2 + g(x)2)= g(x) (f(x)2 + g(x)2))
=(f(x)f(-x)2 + f(x)g(-x)2 = f(-x)f(x)2 + f(-x)g(x)2 )
f(-x) f(x) =(f(x)f(-x)+f(xf) ( g- (-x) x)2 = f(x)f(-x)+f(- fx( ) xg) (x)2 = f(x)f(-x)+g(x)g(-x))
. (g(x)g(-x)= f(xf) ( g- (-x) x)2 = f(- fx( ) xg) (x)2 ) = ( 1(f(x)g(-x)2 + f(-x)g(x)2 )) 2f(-x) f(x) = ( 1(f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2 )) 2f(x)f(-x)
= ( 1( 2f(x)2g(-x)2 ) = 1( 2f(-x)2g(x)2 ))
2f(x)f(-x)2f(x)f(-x)
2
=(f(x)g(-x)2 = f(-x)g(x)2 )
f(-x) f(x)
et
g(x)f(-x)2 g(-x)f(x)2
(f(x)f(-x)= g(-x) = g(x) )
= ( 1(g(x)f(-x)2 + g(-x)f(x)2 )= 1(g(x)2f(-x)2 + g(-x)2f(x)2 )) 2g(-x) g(x)2g(-x)g(x)
et
(g(x)g(-x)= 1(f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2 )) 2f(-x)f(x)
(f(x)f(-x)+ g(x)g(-x)= 2f(x)2f(-x)2 + f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2 )
. f(-x)f(x) = ( 2g(x)2g(-x)2 + f(x)2g(-x)2 + f(-x)2g(x)2 ) f(-x)f(x)
. (f(x)2f(-x)2 = g(x)2 g(-x)2) et
(f(x)2 g(-x)2 = g(x)2f(-x)2)
donc
f(x)2(f(-x)2 + g(-x)2)= g(x)2(f(-x)2 + g(-x)2) . (f(x)2 = g(x)2)
or
(f(x)f(-x)+g(x)g(-x)= f(x)f(-x)+f(-x) g(x)2 = f(x)f(-x)+f(-x) f(x)2 =2f(x)f(-x))
f(x) f(x)
donc
(f(x)f(-x)= g(x)g(-x)) . ( ff(- (xx) ) = gg(- (xx) ) = g( fx( ) - g( x-) 2 x) ) (f(-x)2 = g(-x)2)
.
et, de même
(f(-x)f(x)+g(-x)g(x)= g(-x)g(x)+ g(x) f(-x)2 = g(-x)g(x)+f(-x)g(x)) (f(-x)= g(-x))
g(-x) .
or
(f(-x)2 = f(x)2f(-x)2 + f(x)2 g(-x)2 =2f(x)2f(-x)2) . (2f(x)2 = 1)
et
(g(-x)2 = g(x)2 g(-x)2+g(x)2f(-x)2 =2g(x)2 g(-x)2) . (2g(x)2 = 1) . (f(x)2 + g(x)2 = 1)
3
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ericcc Débutant
Nombre de messages : 1 Date d'inscription : 04/06/2007
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Lun 04 Juin 2007, 16:26 | |
| Vous devez poster votre réponse
Message supprimé par l'administration
Solution Non reçue | |
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badr Expert sup
Nombre de messages : 1408 Age : 35 Localisation : RIFLAND Date d'inscription : 10/09/2006
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Lun 04 Juin 2007, 21:48 | |
| solution postee par mp
Soient f,g :R ---> R dérivables et non constantes telles que : Pour tous x,y dans R
f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y) et g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y).
Montrer que si f'(0) = 0 alors (f(x))² + (g(x))² = 1 pour tout x.
on supposant x=y alors
{f(2x)=(f(x))²-(g(x))² {g(2x)=2f(x)g(x)
{f(-2x)=(f(-x))²-(g(-x))²=f(2x) alors f est pair {g(-2x)=2f(-x)g(-x)=-g(-2) alors g est impair
si f'(0)=0<===>
{2f'(2x)=2{f(x)-g(x)} {2g'(2x)=2{f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}<====>
f'(2x)=f(x)-g(x) g'(2x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<===> g'(0)=f'(0)g(0)+f(0)g'(0)<===>f(0)=g'(0)/g'(0)=1
alors f(x-x)=1<===>f(x-x)=f(x)f(-x)-g(x)g(-x)
alors f est pair et g est impair danc
f(x-x)=(f(x))²+(g(x))²
donc (f(x))²+(g(x))²=1
n;b on considerant que f=cos et sin=g d'ou le resultat.
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Sam 09 Juin 2007, 12:00 | |
| السلام عليكم ورحمة الله تعالى وبركاته. solution postée.
Solution Non reçue | |
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Conan Expert sup
Nombre de messages : 1722 Age : 34 Localisation : Paris Date d'inscription : 27/12/2006
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Sam 30 Juin 2007, 23:36 | |
| bonsoir solution posté par mail en format world et par mp on a pour tout x,y dans R :
f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y) et g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)
prenon x=y=0
donc : f(0) = f(0)² - g(0)² et g(0) = 2f(0)g(0)
donc : f(0) = f(0)² - g(0)² et (2f(0)-1)g(0) = 0
donc : g(0) = 0 car si f(0) = 1/2 => 1/4 = -g(0)² (absurde)
alors : f(0) = f(0)² donc f(0) = 0 ou f(0) = 1
maintenant supposant que y=0 donc
f(x) = f(x)f(0)-g(x)g(0) = f(x)f(0) = f(x) car f(0) = 1
parce que si f(0) = 0 => f(x) = 0 (absurde)
et donc f'(0) = 0
remplacer f(x) par cos (x) et g(x) par sin(x)
ce qui donnera : cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) et sin(x+y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)
on a (cos(0))' = 0 ce qui est tjrs vrai !
et (cos(x)² + sin(x)²)² = 1 est logique
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Lun 02 Juil 2007, 22:25 | |
| je suis trés décu car j'ai pas trouvé ma solution.je demande à monsieur abdelbaki.attioui si je peux poster ma solution. | |
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rockabdel Maître
Nombre de messages : 264 Date d'inscription : 15/09/2006
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Mer 04 Juil 2007, 15:00 | |
| Est-ce-que tte les solutions affichées sont justes??? Sinn Quelle est la solution officielle? | |
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radouane_BNE Modérateur
Nombre de messages : 1488 Localisation : Montréal Date d'inscription : 11/01/2006
| Sujet: Re: Problème de juin 2007 Mer 04 Juil 2007, 16:17 | |
| f(x + y) = f(x)f(y) − g(x)g(y). (1)
g(x + y) = f(x)g(y) + g(x)f(y). (2)
Posons x=y=0 dans (2) on obtient g(0)=2f(0) g(0) => g(0)=0 ou f(0)=1/2.
Si f(0)=1/2.
Posons x=y=0 dans (1) on obtient f(0)=f²(0)-g²(0) => g²(0)=-1/2 (contradiction)
D’où g(0)=0
Posons x=y=0 dans (1) on obtient f(0)=f²(0) => f(0)=0 ou f(0)=1.
Si f(0)=0.
Posons y=0 dans (1) on obtient f(x)=0(contradiction avec le fait que f n’est pas constante)
D’où f(0)=1.
D’après la définition du dérivé on écrit :
f’(x)=lim (h->0) (f(x+h)-f(x)/h)=
=lim (h->0) (f(x) f (h)-g(x) g (h)-f(x))/h)
= lim (h->0) f(x)*(f (h)-1)/h)-lim (h->0) g(x)*(g (h)/h)
=f(x) f’ (0)-g(x) g’ (0)
=-g(x) g’ (0)
De la même façon on obtient g’(x)=f(x)g’(0)
On considère la fonction h(x)=f²(x)+g²(x).
On a h’(x) =2f’(x) f(x) +2g’(x) g(x) =-2g(x)f(x)g’(0) +2g(x)f(x)g’0)=0;la fonction h est constante d’où
h(x)=h(0)=1.d’où le résultat voulu.
sauf erreur de frappe bien entendu. | |
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| Sujet: Re: Problème de juin 2007 | |
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| Problème de juin 2007 | |
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