limites pr 07/02 urg

ex 1
Soit f une fonction définie sur R par:
f(x)=(x^3+2x²+9x+2)/(x²+1)
On note Cf sa reprsentation graphique.
1.Déterminer les réels a, b, et c tels que: f(x)=ax+b+(cx/x²+1)
2.Démontrer que la droite d'équation y=x+2 est une asymptote à la courbe Cf.
3.Préciser la position relative de Cf et de la droite d'équation.

ex 2
On considère la fonction g définie sur R par:
g(x)=2/(1+x²)
1.Démontrer que 0<g(x)<ou= 2 pour tout réel appartenant à R.
2.Démontrer que g est décroissante sur [0;+infini[ et croissante sur ]-infini;0].
3.Déterminer la limite (si elle existe) de g en +infini, -infini et en 0. Expliquer le raisonnement.

j'aimerais avoir la correction de ces 2 exos pour pouvoir m'exercer pour le prochain controle. Je n'y arrive pas j'ai retiré les questions que je savais faire j'ai laissé celle que je n'y arrive pas.merci bcp @+mes amis fidèles

Pour ex 1
1)- f(x)=ax+b+(cx/x²+1)
<=> (x^3+2x²+9x+2)/(x²+1) =[ax^3+bx²+(c+a)x+b]/(x^2+1)
<=>x^3+2x²+9x+2 =ax^3+bx^2+(c+a)x+b
<=> a=1 et b=2 et (c+a)=9
<=>a=1 et b=2 et c=8
2)- toujours lorsqu'il te demande de montrer qu'une droite donnée est une asymptote il faut montrer que lim [f(x)-y]=0
on alim f(x)-y=lim 8x/x²+1 lim 8x/x² =0
d'ou y=x+2 est une asymptote à la courbe Cf.
3)- on a f(x)-y= 8x/x²+1
donc déduire selon le signe de x

Pour ex 2
1)-on a 0<1+x² donc 0<g(x)
et on a g(x)-2= -x²/(1+x²) =<0
d'ou g(x)=< 2
donc 0<g(x)<ou= 2
2)- on a g'(x)=-4x/(1+x²)^2
si x de [0;+infini[ ona g'(x)=-4x/(1+x²)^2 =<0 d'ou g est décroissante sur [0;+infini[
si x de ]-infini;0].g'(x)=-4x/(1+x²)^2 >=0 d'ou g est croissante sur ]-infini;0].
3)-en +l'infini et -l'infini
on lim 1+x² = +l'infini
donc lim g(x)=lim2/(1+x²) =0
en o
on a lim(1+x²)=1 (polynome continue en tout point et en particulier en 0)
donc lim g(x)=lim2/(1+x²) =2