slt yassin voici la preuve
Preuve de cette propriété.
Vous connaissez sans doute une autre "inégalité triangulaire basée sur des longueurs". Celle-ci nous dit que si A, B et C sont trois points alors AB
AC + BC. Nous allons nous en servir.
On appelle A le point de la droite numérique dont l'abscisse est x, B celui dont l'abscisse est -y et C est le point d'abscisse nul. En quelques sortes, on a la chose suivante :
Ainsi comme AB
AC + BC, a-t-on en remplaçant que :
d(x , -y)
d(x , 0) + d(-y , 0)
Avec ce que nous avons vu, nous pouvons affirmer que :
d(x , -y) = |x - (-y)| = |x + y| ceci grâce à la propriété vue au premier paragraphe liant la valeur absolue à la distance.
d(x , 0) = |x| par définition.
d(-y , 0) = |-y| = |y| ceci grâce à la propriété 1 du second paragraphe.
Si on remplace, il vient alors :
|x + y|
|x| + |y|
Autrement dit, ce qu'on voulait !
Quelques remarques :Il y a égalité lorsque les réels x et y ont même signe.
On peut modifier l'inégalité triangulaire en remplaçant y par -y. On a alors que :
|x - y|
|x| + |y|
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c est une faute a cause de ma brutallité