systém 2

salut a tous et a toutes
resoudre le systém dans R
x^3=7x+3y
y^3=3x+7y

Salut, stp c'est pas la section pour les systèmes!!!
x^3=7x+3y
y^3=3x+7y

En retranchant l'une de l'autre:
(x-y)(x²+y²+xy)=4(x-y)
(x-y)(x²+y²+xy-4)=0
donc x-y=0 ou x²+y²+xy-4=0

D'autre part en sommant les deux:
(x+y)(x²+y²-xy)=10(x+y)
(x+y)(x²+y²-xy-10)=0
ainsi: x+y=0 ou x²+y²-xy-10=0

x²+y²+xy-4=0 et x²+y²-xy-10=0
en retranchant une fois et en sommant l'uatre, on obtient:
xy=-3 et x²+y²=7
xy=-3 et (x+y)²-2xy=7
xy=-3 et x+y=+-1

X²-SX-P=0 on traite les 2 cas pour avoir 4 soluces

S={(a;a);(a;-a); les 4 autres soluces} a€IR

je vois que tu n'a traité qu'un seul cas mais il t'en reste encore 3 :
(x-y=0 et x²+y²-xy-10=0)et (x-y=0 et x+y=o)et( x²+y²+xy-4=0 et x+y=0)

mais par exemple quand tu dis x=y et x=-y
ca vx dire que x=0 et y=0 et c'est invlut en (a;a) et aussi (a;-a)

Bonjour ;
Une idée :

En considérant la fonction f : x --> 1/3(x^3-7x) on constate que le problème revient à déterminer
les couples de réels (x,y) tels que f(x)=y et f(y)=x ce qui revient géométriquement à déterminer les points de (Cf)
qui sont symétriques par rapport à la première bissectrice (D).
(*) on en a déjà 3 : (-V10,-V10) , (0,0) et (V10,V10)
(ce sont les trois points d'intersection de (Cf) et (D) dont les abscisses s'obtiennent en résolvant l'équation f(x)=x).
(*) en profitant de l'imparité de f on en a 2 autres (2,-2) et (-2,2)
(points de (Cf) à la fois symétriques par rapport à (D) et O)
(*) il reste au plus 4 autres points à déterminer (sauf erreur)

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ;
Une idée :

En considérant la fonction f : x --> 1/3(x^3-7x) on constate que le problème revient à déterminer
les couples de réels (x,y) tels que f(x)=y et f(y)=x ce qui revient géométriquement à déterminer les points de (Cf)
qui sont symétriques par rapport à la première bissectrice (D).
(*) on en a déjà 3 : (-V10,-V10) , (0,0) et (V10,V10)
(ce sont les trois points d'intersection de (Cf) et (D) dont les abscisses s'obtiennent en résolvant l'équation f(x)=x).
(*) en profitant de l'imparité de f on en a 2 autres (2,-2) et (-2,2)
(points de (Cf) à la fois symétriques par rapport à (D) et O)
(*) il reste au plus 4 autres points à déterminer (sauf erreur)

une bonne iddé ^^ et surtout le fait de remarquer que le systém au simillaire au
f : x --> 1/3(x^3-7x) et f(x)=y et f(y)=x

Voilà je viens de trouver les 4 autres en résolvant l'équation fof(x)=x
(V((7+V13)/2),-V((7-V13)/2)) , (V((7-V13)/2),-V((7+V13)/2)) , (-V((7+V13)/2),V((7-V13)/2))
et (V((7-V13)/2),-V((7+V13)/2)) (le symbole V désignant la racine carrée) (sauf erreur)

Très bonne idée, et super remarque

et j'ai trouvé aussi 2 autre solutions:
x=2 , y=-2 . et x=-2 et y=2

(2,-2) et (-2,2) sont déjà citées otman4u (voir mon post d'aujourd’hui à 15:04)
il y'a 9 solutions au total ce qui est optimal vu que ce sont les (x,f(x)) où x est racine du polynôme fof(x)-x
qui est de degré 9 (sauf erreur)

BRAVO Mr elhor_abdelali

MERCI Mr lonly

Bonsoir !

Quelqu'un pourrait m'éxpliquer ce que veut dire la première bissectrice ?

Toujours Merci

JASPER a écrit:

Bonsoir !

Quelqu'un pourrait m'éxpliquer ce que veut dire la première bissectrice ?

Toujours Merci

BSR JASPER !!
C'est la droite d'équation y=x tout simplement !
LHASSANE

y en a d'autres bissectrices ?

OUI !!
Habituellement , on appelle seconde bissectrice , la droite d'équation y=-x , elle est perpendiculaire à la première bissectrice dont je t'ai parlé précédemment !!
LHASSANE
PS: tu peux vérifier que (a,b) et (b,a) sont deux points du plan toujours symétriques par rapport à la 1ère bissectrice.

ah bon ! merci pour l'info

je propose mamethode:

x^3=7x+3y (1)
y^3=3x+7y (2)
on remarque tt d'abord que x=0<=>y=0 donc le couple (0,0)£ S
(1)+(2) => (x+y)(x²-xy+y²)=10(x+y)
onetudie d'abord le cas de x=-y
on trouve que x=2 et y=-2
ou x=-2 et y=2 qui sont les solutions possibles pour x=-y
pour x different de -y on a donc
x²-xy+y²=10 (3)
on a egalement
(1)-(2)=> (x-y)(x²+xy+y²)=4(x-y)
on etudie d'abord le cas de x=y
qui donne les couples (-V10;-V10)et(V10;V10) comme seuls solutions possibles
pour x different de y on a donc
x²-xy+y²=4 (4)
(3)+(4)=> x²+y²=7=>x²=7-y² (5)
on a egalement (x+y)²=7+2xy (6)
et d'apres (4) on aura xy=-3
et en remplacant dans (6) on aura (x+y)²=1=> x²=(1-y)² ou x²=(1+y)²
et en remplacant x² dans (5) on obtient 7-y²=(1-y)² ou 7-y²=(1+y)²
qui sont 2 equations de 2eme degre qpres les resoudre on obtient aisement les 4 autres solutions