implication. ==>

Salut ,
soit f une fct continue et >=0 sur R+
on suppose que lim (f°/f)(x) (x-->+00)=+00
est ce qu on peut conclure lim f(x) (x-->+00)=+00 ?
° signifie prime (dsl jai perdu l°accent ces derniers jours )

selfrespect a écrit:

Salut ,
soit f une fct continue et >=0 sur R+
on suppose que lim (f°/f)(x) (x-->+00)=+00 (*)
est ce qu on peut conclure (**) lim f(x) (x-->+00)=+00 ?
° signifie prime (dsl jai perdu l°accent ces derniers jours )

BJR à Selfrespect , à Tous et Toutes !!!!
Ton implication est VRAIE ! En voici une preuve .
Disons tout de suite qu’il existe au moins un nombre c >=0 tel que f(c)>0 [ sans quoi f serait identiquement NULLE !! et le Pb ne serait d’aucune utilité ]
Traduisons ton hypothèse de travail (*)
Quelquesoit a >0 , il existe b>0 tel que pour tout x>b alors
[f’(x)/f(x)]>a
Choisissons a=1 (ci-dessus et appelons toujours b le « b » associé à a=1 et notons d =Max{b,c}), alors pour tout x>d on a f’(x) > f(x)
f étant supposée positive alors f’ sera positive sur ]d,+oo[
Et de là f y sera strictement croissante .
On considère un x quelconque dans ]d,+oo[ , appliquons le TAF à la fonction f sur ]d,x[ , il existera un cx
dans ]d,x[ tel que :
f(x)= f(d) +(x-d).f’(cx) >=f(c) +(x-d).f(cx) >= f(c) +(x-d).f(d)
>= f(c) +(x-d).f(c))=f(c).x+[f(c)-d.f(c)]=A.x+B
avec A=f(c) , le coefficient A est >0
Ainsi f possède UNE MINORANTE AFFINE Ax+B sur ]d,+oo[ avec A>0 , on fera tendre x---->+oo pour avoir la conclusion (**).
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

selfrespect a écrit:

Salut ,
soit f une fct continue et >=0 sur R+
on suppose que lim (f°/f)(x) (x-->+00)=+00 (*)
est ce qu on peut conclure (**) lim f(x) (x-->+00)=+00 ?
° signifie prime (dsl jai perdu l°accent ces derniers jours )

BJR à Selfrespect , à Tous et Toutes !!!!
Ton implication est VRAIE ! En voici une preuve .
Disons tout de suite qu’il existe au moins un nombre c >=0 tel que f(c)>0 [ sans quoi f serait identiquement NULLE !! et le Pb ne serait d’aucune utilité ]
Traduisons ton hypothèse de travail (*)
Quelquesoit a >0 , il existe b>0 tel que pour tout x>b alors
[f’(x)/f(x)]>a
Choisissons a=1 (ci-dessus et appelons toujours b le « b » associé à a=1 et notons d =Max{b,c}), alors pour tout x>d on a f’(x) > f(x)
f étant supposée positive alors f’ sera positive sur ]d,+oo[
Et de là f y sera strictement croissante .
On considère un x quelconque dans ]d,+oo[ , appliquons le TAF à la fonction f sur ]d,x[ , il existera un cx
dans ]d,x[ tel que :
f(x)= f(d) +(x-d).f’(cx) >=f(c) +(x-d).f(cx) >= f(c) +(x-d).f(d)
>= f(c) +(x-d).f(c))=d.f(c).x+[f(c)-d.f(c)]=A.x+B
avec A=f(c) , le coefficient A est >0
Ainsi f possède UNE MINORANTE AFFINE Ax+B sur ]d,+oo[ avec A>0 , on fera tendre x---->+oo pour avoir la conclusion (**).
A+ LHASSANE

joilie Mr Bourbaki
voila ma preuve ,on remarque que f°/f=(ln(f))°
alors soit A>0
existe B>0 tel que qq soit x>B ; (ln(f(x)))°>A
integration ==> qq soit x>B ; f(x)>exp(A)>A
alors on a montrer que
qq soit A>0 existe B>0 tel que qqsoit x> B , f(x)>A

Ah!!! C'est joli aussi !!!
Je n'ai pas DU TOUT pensé à la dérivée logarithmique qui raccourcit énormément la DEMO bien sûr !!!
A+ Selfrespect
PS: je suis tjr entr'ain de réfléchir à la suite {un=(racn).an}
et le fait que un------->rac3 .....
LHASSANE