salam
voila ma solution elle est un peu longue mais sachez que j'ai pas trouvé mieux :-)
d abord on va commencer par faire quelques remarques:
- comme abdelbaki.attioui l'a démontré, la fonction f est impaire.
- la fonction nulle est une solution. on va chercher les fonctions qui sont pas nulles partout.
- f ne s'annule jamais à part en 0. donc elle garde un signe constant sur R+ ( par parité sur R- aussi)
- d'autre part, on remarque aussi que si f est une solution alors -f est une solution. donc si on pose que f(1) = a alors on peut supposer que a>0
résolution: en prenant y = x on trouve que f(1/x) = f(2x)/(2f²(x))
on prend x = 1 on trouve que f(2) = 2a^3
après x = 1/2 donne que f(2) = f(1)/(2f²(1/2)) -> f(1/2) = 1/2a ( f(1/2)>0 puisque f garde un signe constant sur R+, celui de a )
en prenant x= 1 et y = -1/2 on trouve que a(2a^3-a)=1, qui peut se factoriser en (a-1)(a+1)²=0 donc a = 1 ( puisque a>0)
en prenant y = 1 et puis y = -1 et on retranche ces deux relations l'une de l'autre, on trouve que : f(x+1)+f(x-1) = 2f(x)
une récurrence immédiate implique que f(n) = n pour tout n de N
après en se basant sur la relation f(1/x) = f(2x)/(2f²(x)) on trouve que f(1/n) = 1/n pour tout n de N
on prend maintenant y = nx et ensuite y = -nx
on retranche les deux relations l'une de l'autre, on trouve que :
f((p+1)x) +f((p-1)x) = 2f(x)f(1/x)f(px)
pour x = 1/q et avec une récurrence sur p, on déduit que f(p/q) = p/q
comme f est continue alors f(x) = x pour tout x de R
or si f est une solution, -f est une solution aussi. alors on déduit que les seules solutions de ce problème sont f(x) = x et f(x) = -x et f(x) = 0
voila.
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