Inégalité 9 - Moyenne logarithmique

Soient a > b >0.
Montrer que :

on pose f(x)=x-1/x-2ln(x) et x>=1
f'(x)=1+1/x²-2/x>=0 d ou f(x)>=f(1)=0 par suite x-1/x>=2ln(x)
on pose g(x)=ln(x)-2(x-1)/(x+1)
g'(x)=(x-1)²/(x+1)²>=0 d ou g(x)>=g(1)=0
on prend pour x=racine (a/b) on obtient l 'inégalité demandée

mathman a écrit:

Soient a > b >0.
Montrer que :

2/(b+a)<[lna-lnb]/(a-b)<1/rac(ab)
cauchy shwartz ==>
(Int(b^a) dx/x)²<(Int(b^a)dx/x²)(Int(a^b)dx)=[1/b-1/a][a-b]=(a-b)²/ab
==> [ln(a)-ln(b)]/(a-b)<1/rac(ba)
il me reste lautre sens (je cherche une inegalit integrale )
on peut utiluser ceci sur la fct ln
alors [ln(a)-ln(b)]/[a-b]>2/(a+b)