IRAN2007 : trouver toutes les fonctions...

trouver toutes les fonctions f de Q dans Q telles que pour tous x et y de Q, on a :
1) f(x)+f(1/x) = 1
2) 2f(f(x)) = f(2x)

bel_jad5 a écrit:

trouver toutes les fonctions f de Q dans Q telles que pour tous x et y de Q, on a :
1) f(x)+f(1/x) = 1
2) 2f(f(x)) = f(2x)

bel_jad5 a écrit:

trouver toutes les fonctions f de Q dans Q telles que pour tous x et y de Q, on a :
1) f(x)+f(1/x) = 1
2) 2f(f(x)) = f(2x)

*x=1, f(1)=1/2
*2f(1/2)=f(2) , et f(2)+f(1/2)=1
==> f(1/2)=1/3 et f(2)=2/3
*2f(1/3)=f(1)=1/2 ==>f(1/3)=1/4 et f(3)=3/4
montrons par reccurence sur n que
R(n) :f(1/n)=1/(n+1)
*pour n=1 et n=2 , c verifié
* suppoqant que R(n) est juste pour n et n+1 ,et demontrons la veracité de R(n+2),
馈 si n est pair on a de 1)
2f(1/(n+1))=f(1/{n/2})=2/(n+2)
f(1/(n+1))=1/(n+2)
ٔs si n impair on a
f(2/(n+1))=2f(f(1/(n+1))
et f(2/(n+1))=1/[({n+1}/2)+1]=2/(n+3)
alors f(f(1/(n+1))=1/(n+3)
==>f(1/(n+2))=1/(n+3) , reccurence achevée !
. vous me croyez !

le raisonnement est bon mais t'a oublié juste un truc : les rationnels s écrivent sous la forme p/q et non pas 1/q.
donc il y a encor du boulot !

bel_jad5 a écrit:

le raisonnement est bon mais t'a oublié juste un truc : les rationnels s écrivent sous la forme p/q et non pas 1/q.
donc il y a encor du boulot !

lol je le sais tres bien mais jai voulu seulemnt me rassurer

bel_jad5 a écrit:

le raisonnement est bon mais t'a oublié juste un truc : les rationnels s écrivent sous la forme p/q et non pas 1/q.
donc il y a encor du boulot !

f(q/p)=q/(p+q)
....puis on demontrera par reccurece sur p que :
*f(p/2)={p}/(p+2) (vous pouvez le faire ,) ii
* mnt reccurece sur n ( on utiluse le resultat ii) prouvra facilment que:
f(q/(q+n))=q/(2q+n)
**si p>q , alors il existe r dans N tel que p=r+q
* si q<p devient une deduction de ** en utilusant la relation 1) .

selfrespect a écrit:

bel_jad5 a écrit:

le raisonnement est bon mais t'a oublié juste un truc : les rationnels s écrivent sous la forme p/q et non pas 1/q.
donc il y a encor du boulot !

[i]f(q/p)=q/(p+q) [/i]
....puis on demontrera par reccurece sur p que :
*f(p/2)={p}/(p+2) (vous pouvez le faire ,) ii
* mnt reccurece sur n ( on utiluse le resultat ii) prouvra facilment que:
f(q/(q+n))=q/(2q+n)
**si p>q , alors il existe r dans N tel que p=r+q
* si q<p devient une deduction de ** en utilusant la relation 1) .

la solution est : f(x) = x/(x+1) pour ceux qui l'ont pas vu