démonstration

Soit ABC un triangle acutangle. Soit L et M les pieds des bissectrices issues de B et C.
Montrer que BÂC = 60° si et seulement s'il existe un point K sur [BC] tel que KLM soit équilatéral.

Soit I le centre du cercle inscrit à ABC.

<== : Plaçons-nous dans le triangle BKM. En utilisant le fait que la bissectrice issue de B passe par le sommet L du triangle équilatéral KLM, il n'est pas difficile d'obtenir que [<B = 120°] ou [BM = BK]. ABC étant acutangle, nous pouvons exclure la première de ces deux propositions, donc : BM = BK, ce qui signifie que (LB) est une bissectrice du triangle KLM.
De même, on obtient CK = CL, et (MC) est une bissectrice de KLM.
Ces deux propositions entraînent : <MIL = 120°. Or, <MIL = <A/2 + 90°, d'où <A = 60°.

==> : Soient P, Q, R les projetés de I sur (BC), (CA) et (AB), respectivement. Soit K le pied de la bissectrice issue de de I.
Alors, une simple chasse aux angles entraîne que les triangles IRM, IQL et IPK sont isométriques, et donc IK = IL = IM. De plus, <MIL = <LIK = <KIM = <120°, ce qui permet de conclure que KLM est équilatéral.