couple de fcts

salut
determiner tous les couples de fcts verifiants :
f(x+y)=f(x)+f(g(y))
g(x+y)=g(x)+g(f(y))

selfrespect a écrit:

salut
determiner tous les couples de fcts verifiants :
f(x+y)=f(x)+f(g(y))
g(x+y)=g(x)+g(f(y))

Bonjour Selfrespect,

Je trouve ce problème difficile.

On trouve facilement quelques solutions évidentes :
f(x)=g(x)=0
f(x)=x+a, g(x)=x-a

On trouve moins facilement quelques solutions avec axiome du choix :
Soient A et B deux sous-Q-espace vectoriels de R considéré comme Q-ev.
Soient a(x) et b(x) les projections de x sur A et B (x=a(x)+b(x))
Soit a appartenant à A
f(x)=a(x)+a, g(x)=a(x)-a
(si A={0}et B=R, on retrouve f=g=0; Si A=R et B={0}, on retrouve f=x+a et g=x-a)

Mais je ne sais pas s'il y en a d'autres (ce sont les seules constantes ou linéaires).

As-tu une indication pour poursuivre ?

--
Patrick

selfrespect a écrit:

salut
determiner tous les couples de fcts verifiants :
f(x+y)=f(x)+f(g(y))
g(x+y)=g(x)+g(f(y))

Une piste sérieuse :

f(x+y)=f(x)+f(g(y))
f(y+x)=f(y)+f(g(x))
Donc f(g(x))-f(x)=f(g(y))-f(y)
donc f(g(x))=f(x)+a
Donc f(x+y)=f(x)+f(y)+a
Donc h(x+y)=h(x)+h(y) avec h(x)=f(x)+a

et de la même manière : k(x+y)=k(x)+k(y) avec k(x)=g(x)+b

Si on prend alors les solutions de Cauchy continues, on obtient les solutions f=g=0 et f=x-a, g=x+a

Mais en solutions discontinues, il y en a probablement plus que ce que j'ai indiqué dans mon post précédent.

A suivre ...

Salut Mr pco , jai trouve° la mm chose que vous
*prenons y=0, on trouve , f(x)=f(g(0))+f(0)
puis que f(x+y)-f(0)=f(x)-f(0)+f(y)-f(0)
ce qui donne en posons t(x)=f(x)-f(0)
alors ca donne t(x+y)=t(x)+t(y)
ce qui admet comme solution les fct x-->ax
alors f affine de mm on trouve g affine
* reciproquement on trouve les fct (f,g)--(x+a,x-a) et (0,0) conviennet
mais franchement je nai aucune idee° sur lesz fcts non continues verifiants ceci .
merci.