Exi etude des fcts

soit fn la fonction définie par:
(qq soit n£IN*) fn(x)=(cos^2n(x)+sin^2n(x))^(1/2n)

Montrez que qq soit x£IR fn(x) est convergente et calculez selon les valeurs de "x" f(x)=lim(x-->+oo)fn(x)

Aller bougez un peu!

no one?

Salut Maryem j'ai reponse tres rapide:
il est claire que f est positive et définie sur IR (car pr tt n£IN* 2n est paire). donc posons gn(x)=fn(x)^2n alors:
gn(x)=cos^2n(x)+sin^2n(x).
il y 'a plusieurs methode mais je ferai la plus simple; alors:
on a: |gn(x)|=|cos^2n(x)+sin^2n(x)|.
<=|cos^2n(x)|+|sin^2n(x)|
<=|cos(x)|^2n + |sin(x)|^2n.
<= 2. (car |cos(x)|<=1 et meme pour sin).
alors |fn(x)|<=2^(1/2n).
et puisque (fn(x))n est bornée par une suite convergente alors elle est aussi convergente(pr tt x£IR).
et pour la deuxieme partie je crois qu'il y'a faute car f(x)=lim(n-->+00)fn(x).
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*LAHOUCINE*
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soit f(x)=lim(n-->+oo)fn(x) alors:
il est clair que fn(x) est paire de meme temps est periodique de periode 2pi. alors on etudie fn sur [0;pi]:
alors soit x£[0;pi]
*) si x=kpi/2 (k£{0;1;2}) => fn(kpi/2)=1.
*) si x#kpi/2 et x<pi/4 et x>3pi/4 alors on a fn(x)=|cos(x)|(1+tan^2n(x))^(1/2n).
alors lim(n-->+00)fn(x)=|cos(x)|.
*) si x#kpi/2 et si x>pi/4 ou x<3pi/4alors on a:
fn(x)=|sin(x)|(1+cotan^2n(x))^(1/2n).
donc lim(n->+00)fn(x)=|sin(x)|.
*) si x=pi/4 => fn(x)=rac(2)/2.
COCLUSION:
lim(n->+00)fn(x)=
---------------> |cos(x)| si x<pi/4 et x>pi/4 et x#kpi/2(k£Z)
---------------> |sin(x)| si x>pi/4 et x<3pi/4 et x#kpi/2.
---------------> 1 si x=kpi/2.
---------------> rac(2)/2 si x=pi/4.
et comme f periodique et paire on peut deduire sur IR.
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*LAHOUCINE*
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