Merci Mr abdelletif pour cette jolie inégalité :
L’inégalité proposée est équivaut à :
Rac(2)*(tan(a)+tan(b)+tan(c)+tan(d))>=1/cos(a)+1/cos(b)+1/cos(c)+1/cos(d)
ó 2(tan(a)+tan(b)+tan(c)+tan(d))²>=(1/cos(a)+1/cos(b)+1/cos(c)+1/cos(d))²
Alors si on pose tan(a)=x ;tan(b)=y ;tan(c)=z et tan(d)=t avec (x,y,z,t)£ IR+*.
Donc (*) ó
2(x+y+z+t)²>=(rac(x²+1)+rac(y²+1)+rac(z²+1)+rac(t²+1))² (car 1/cos²(x)=1+tan²(x))
Comme
a+b+c+d=pi => tan (a+b) +tan(c+d)=0
=>(x+y)/ (1-xy) + (z+t)/ (1-zt)=0
=>x+y+z+t=xzt+yzt+xyt+xyz
D’autre part on a :
(x+y)(x+z)(x+t)=x²(x+y+z+t)+ xzt+yzt+xyt+xyz=(x+y+z+t)(x²+1)
=>(x²+1)/(x+y)=(x+z)(x+t)/(x+y+z+t)
De la mème facon on obtient
(y²+1)/(y+z)=(y+t)(y+x)/(x+y+z+t) ;(z²+1)/(z+t)=(z+x)(z+y)/(x+y+z+t) et (t²+1)/(t+x)=(t+y)(t+z)/(x+y+z+t)
D’où (x²+1)(x+y)+(y²+1)/(y+z)+(z²+1)/(z+t)+(t²+1)/(t+x)=(x²+y²+z²+t²+2(xy+xz+xt+yz+yt+zt))/(x+y+z+t=(x+y+z+t)²/(x+y+z+t)=x+y+z+t
On a encore :
2(x+y+z+t)²=2(x+y+z+t)(x+y+z+t)=2(x+y+z+t)((x²+1)(x+y)+(y²+1)/(y+z)+(z²+1)/(z+t)+(t²+1)/(t+x))
=((x+y)+(y+z)+(z+t)+(t+x))* ((x²+1)(x+y)+(y²+1)/(y+z)+(z²+1)/(z+t)+(t²+1)/(t+x))
>=(rac(x+1)+rac(y²+1)+rac(z²+1)+rac(t²+1))²
D’où l’inégalité désiré!
Ouuuuuuuuuuuuuuf wachhla twwila.
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