s'il vous plais " un exercice "

On considére que f est une fonction au [a;b] ( a et b sont deux nombres réels a <b )
* f([a;b]) dans [a;b]
* A x,y E [a,b] / x # y |f(x) - f(y) | < | x-y |

1* démonter que f est une fonction continu (متصلة ) sur R
2* on considére une fonction g :
A xE[a,b] g(x) = f(x)-x

1~ démonter que g est une fonction (تناقصية قطعا ) sur [a,b ]
2~ (حدد اشارة ) g(a)g(b)
استنتج que : E! alpha E [a,b] f(alpha)=alpha



A = كيفما كان
E= ينتمي

slt
il existe un alpha tel que la valeur absolu de x mois y est inferieure de alpha en outre valeur absolu de x-y est superieure de valeur absolu de f(x)-f(y) donc valeur absolu de f(x)-f(y) est inferieur de alpha
on suppose alpha egale epsilone
enfin a x,y apartien a (a;b) v a (x-y)inferieur a alpha implique de v a f(x)- f(y) est inferieur de epsilone dou la contunuité de f(x)
poser la fonction g(x) =f(x)-x on a f(a)est superieur de a est inferieur de b don c g(a) est positif du mmem tu vas trouve f(b) est negative
selon lea theoreme des valeur intermediare tu trouve que g(alpha) =0 donc f(x)=x

salut on considère x0 E [a;b]
|f(x)-f(x0)|< |x-x0|
lim|x-x0|=0 (lorsque x tend vers x0)
donc lim f(x)- f(x0)=0 <=> f est continu dans x0
la meme chose lorsque x tend vers a+ et lorsque x tend vers b-
donc f est continu sur [a;b]
2) pour tout (x;y) E [a;b] g(x)-g(y)/x-y=f(x)-f(y)/x-y -1<0
donc g est decroissante
3)on a g(a)= f(a)-a>0 ( 0<f(a)-a<b-a )
g(b)= f(b)-b<0 (a-b<f(b)-b<0)
donc g(a)xg(b)<0
donc selon le theoreme de la valeur intermediaire et (g est decroisante=> g est bijectif de [a;b]-->(g(b);g(a)])
E! alpha E [a;b] g(alpha)=0
<=> f(alpha)=alpha