Premier + Carré parfait = Somme de carrés parfaits.

Si p est un nombre premier et que pn + 1 est un carré parfait, alors n + 1 est la somme de p carrés parfaits.

mathman a écrit:

Si p est un nombre premier et que pn + 1 est un carré parfait, alors n + 1 est la somme de p carrés parfaits.

on a
(pn+1) =(pk+1)^2 alors
pn+1 =(pk)^2 +2pk +1
n= p(k)^2 +2k
d'ou
n+1 = p(k)^2 +2k +1
n+1 = k^2+k^2+............+k^2 +2k +1 (les k^2 p fois)
n+1 =k^2+k^2+............+k^2 +(k+1)^2 (les k^2 (p-1) fois)
donc n + 1 est la somme de p carrés

samir a écrit:

on a
(pn+1) =(pk+1)^2

Pas forcément...

on a : pn+1=a² d ou n=(a²-1)/p
d ou on tire que p divise a+1 ou p divise a-1
ainsi a=kp+r avec |r|=1
n=((kp+r)²-1)/p=k²p+2Kr
n+1=k²+k²+...+k²+(k²+2kr+1)=k²+k²+...+k²+(k²+2kr+r²)=k²+k²+...+k²+(k+r)²
ainsi n+1 est la somme de p carrés parfaits