toujours carrés parfaits ...

SALUT TOUT LE MONDE:

* existe-t-il 2007 entiers naturels positifs et distincts entre eux tels que la somme de 2006 d’entre eux est toujours égale à un carré parfait ?

*généralisation avec N nombres entiers naturels positifs et distincts entre eux tels que la somme de N-1 d’entre eux est toujours égale à un carré parfait.

:@: +

Bonsoir ;
On peut supposer N>=3 .
Condition nécessaire :
Soit a1>a2>..>aN>=1 de tels entiers et S leur somme , on veut donc que pour tout i£{1,..,N}
l'entier S-ai soit un carré parfait xi² en sommant on a (N-1)S=(x1²+..+xN²) c'est à dire (N-1)(ai+xi²) =(x1²+..+xN²)
ou encore ai = (x1²+..+xN²)/(N-1) - xi² pour tout i£{1,..,N} avec x1<x2<..<xN
Condition suffisante :
Si on peut trouver N entiers naturels non nuls distincts x1<x2<..<xN tels que ,
* N-1 divise la somme x1²+..+xN²
* xN < (x1²+..+xN²)/(N-1)
alors les entiers naturels non nuls distincts ai = (x1²+..+xN²)/(N-1) - xi² sont solutions du problème .
exemple :
Pour N=3 , x1=5 , x2=6 et x3=7 on trouve les entiers a1=30 , a2=19 et a3=6 qui sont bien tels que
la somme de deux quelconques d'entre eux est un carré parfait .
Pour N=4 , x1=10 , x2=11 , x3=12 et x4=13 on trouve a1=78 , a2=57 , a3=34 et a4=9 qui sont bien tels que
la somme de trois quelconques d'entre eux est un carré parfait . (à suivre sauf erreur bien entendu)

Une petite erreur de frappe s'est glissée , la condition suffisante est plutôt :
* (N-1) divise Sum(xi²)
* xN² < Sum(xi²)/(N-1)