suite convergente

on considere la suite (x_n) définie par :
x_n=somme(k varie de 0 juska n) [(-1)^k / (2k)!]
montrer que cette suite converge

calcule la limite
j'ai trouvé Pi/6 .

je peut la calculer et donner la methodes mais aucun des memebre du terminal va la comprendre et si ta dit ta trouver
la methode s'il vous plais mais voila une methode simple
on peut voire que le cas ou n est impaire set deffrent au cas du n est paire donc j pose a_n=x_2n et b_n=x_(2n+1)
a_n=(1-1/2!)+(1/4!-1/6!)+...+(1/(2n-4)!-1/(2n-2)!)+1/(4n)! >0
donc il est minoré par 0 et a_n est decroissant donc il est convergente
on a b_n est croissante et on peut facilement voir que b_n=a_n-1/(4n+2)! et on a a_n>a_(n+1) donc
1/(4n+2)!-1/(4n+6)! >b_(n+1)-b_n on fait sigma dans les deux cote on trouve
1/2!+1/6!-1/(4n+2)!-1/(4n+6)! >b_n-b_0
donc 1/2!+1/6!+b_0 >b_n donc b_n est majoré et il est croissante donc convergente donc pour tout n de N x_n converge

j j'amais vu un exo comme sa , il te pouse a bien reflichire merci callo et poste svp un autre exo de meme ou plus niveau

si les deux suite converge ca ne veut pas dire que la suite converge
prends les cas ou an et bn on des limites differente donc Un n aura pas de limite et ne sera donc pas convergeante.

ils ont la meme limit mec il faut seulement voir bien

kalm a écrit:

je peut la calculer et donner la methodes mais aucun des memebre du terminal va la comprendre et si ta dit ta trouver
la methode s'il vous plais mais voila une methode simple
on peut voire que le cas ou n est impaire set deffrent au cas du n est paire donc j pose a_n=x_2n et b_n=x_(2n+1)
a_n=(1-1/2!)+(1/4!-1/6!)+...+(1/(2n-4)!-1/(2n-2)!)+1/(4n)! >0
donc il est minoré par 0 et a_n est decroissant donc il est convergente
on a b_n est croissante et on peut facilement voir que b_n=a_n-1/(4n+2)! et on a a_n>a_(n+1) donc
1/(4n+2)!-1/(4n+6)! >b_(n+1)-b_n on fait sigma dans les deux cote on trouve
1/2!+1/6!-1/(4n+2)!-1/(4n+6)! >b_n-b_0
donc 1/2!+1/6!+b_0 >b_n donc b_n est majoré et il est croissante donc convergente donc pour tout n de N x_n converge

j j'amais vu un exo comme sa , il te pouse a bien reflichire merci callo et poste svp un autre exo de meme ou plus niveau

pour completer ta reponse , il faut montrer que lima_n=limb_n
(moutataliatani mouta7adiatane)

nn je pense que c primordial de montrer qu ils ont la meme limite sinon c faux

prends le cas de la suite COSn tu t en rendra compte

prend un=x(2n) et vn=x(2n+1) est demontre qu'il sont motahadyatan

daccord avec toi ca inclura qu ils ont la meme limite