(n²+1) n'est pas un carré parfait

Salam ;

comment peut on montrer que (n²+1) n'est pas un carré parfait sans l'utilisation de l'inégalité :n²< n²+1 < (n+1)² , quel que soit n . :shock:

Je ne vois pas pourquoi tu veux te compliquer la vie alors qu'il est très facile de le montrer de la manière que tu indiques...

Salam/salut;

quand je fais mes exercices , j'essaie tjs de trouver toutes les méthodes possibles .

Exe : je peux montrer que ²+x+1=0 , n'admet pas de solutions dans R ,par 3 méthodes diffe , sans calculer Delta .

c'est une bonne raison , n'est ce pas ?

A bientôt.

oui c'est bien d'essayer de résoudre les exercicers avec plusieurs methodes

Supposons que (n²+1) est un carré parfait , alors il existe un m dans N tel que : (n²+1)=m² .===>m²-n²=1

Si n est pair alors n² l'est aussi ====> m² est impair !

Si n est impair alors n² l'est aussi ====> m² est pair !.

Dans les deux cas (m²-n²) est un nombre pair !! d'ou la contradiction.

Alors que pensez-vous ?!

non c ps vrai ce que t a marqué m²-n² est impair ds les deux cas
allez bon courage !(essaye encor )

la différence entre deux nombres ont la même parité est tjs un nombre pair (zawji)!

25-9=16 ....36-16=20....81-49=32.....

Qu'as-tu ?

Je c qu'il ne suffit pas de donner des exemples : la démonstration est simple : écrivons m=2k+1 et n=2k'+1 d'une part et m=2k , n=2k' d'une autre part !!!

Je suis certain que mon raisonnement est logique et bon !!!

Sinon donne moi un contre exemple !!

N.B : le cas ou n=0 ====> m=1 est un cas particulier !

supposons que n est pairalors n² est pair donc n²+1 est impair ainsi m² est impair
alors on déduit que si n² est pair alors m² est impair cela signifie que n²et m² n ont pas la meme parité !
de meme si on suppose que n est pair
voila une indication pour résoudre le probleme:on factorise on trouve
(m-n)(m+n)=1 le produit de 2 nombres est egal a 1 quelles sont ces 2 nombres?

VOILA UNE AUTRE SOLUTION : on a evidement m>n on poz x=m-n
x>=1
m²=(n+x)²=n²+2nx+x²>n²+x²>=n²+1 (on suppoz que n#0)
ainsi si m>n alors m²>n²+1
donc l equation n a pas de solution !

Merci.

Soit n dans N .

Montrer que : 1+3+5+7+.......+(2n+1) est un carré parfait

Utilise le maximum de méthodes !!! moi j'ai trouvé 2 et je vais chercher !

Amicalement

premiere methode:A=1+3+..+2n+1
A=1+3+..+2n+1=(1+2+..+2n+1)-2(1+2+..+n)
=(2n+1)(n+1)-n(n+1)
=(n+1)²
donc A est un carré parfait

deuxieme methode:
on sait que 1=1-0²
3=2²-1²
5=3²-2²
..........
2n+1=(n+1)²-n²
on somme ces inégalites on obtient :
1+3+...+2n+1=(1²-0²)+(2²-1²)+(3²-2²)+...+((n+1)²-n²)=(n+1)²-0²=(n+1)²
ainsi la somme est bien un carré parfait

troisieme methode:
A=1+3+7+9+....+(2n+1)
A=(2n+1)+(2n-1)+...+3+1
2A=(1+2n+1)+(3+2n-1)+(5+2n-3)+...+(2n-1+3)+(2n+1+1)
=2(n+1)+2(n+1)+...+2(n+1) (ya n+1 termes)
=2(n+1)²
A=(n+1)²
conclusion A est un carré parfait

Merci !

Et la réccurence aussi !!!